Номер 3, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (3) На какое множество отображает функция множество, если:

а) $f(x)=\frac{x}{x-3}, A=(3;5];$

б) $f(x)=4-\frac{x}{2}, A=[-4;6);$

в) $f(x)=x^2-x-2, A=[0;3]?$

а) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x-3}$ и множество $A=(3;5]$. Чтобы найти множество, на которое функция отображает данное множество $A$, нужно исследовать поведение функции на этом интервале. Найдем производную функции, чтобы определить ее монотонность: $f'(x) = (\frac{x}{x-3})' = \frac{1 \cdot (x-3) - x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}$. Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) < 0$. Это означает, что функция является строго убывающей на всем своем домене, включая интервал $(3;5]$. Так как функция убывает, для нахождения множества значений (образа) нам нужно найти значения функции на границах интервала $A$. На правой границе, в точке $x=5$ (которая включена в интервал): $f(5) = \frac{5}{5-3} = \frac{5}{2} = 2.5$. На левой границе, при $x$ стремящемся к $3$ справа (точка 3 не включена в интервал), найдем предел: $\lim_{x \to 3^+} \frac{x}{x-3} = \frac{3}{+0} = +\infty$. Поскольку функция убывающая, она принимает все значения от значения в правой точке до предела в левой точке. Таким образом, образ множества $A=(3;5]$ есть множество $[2.5; +\infty)$.
Ответ: $[2.5; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{x}{2}$ и множество $A=[-4;6)$. Эта функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -1/2$. Так как угловой коэффициент отрицательный ($k < 0$), функция является строго убывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $A=[-4;6)$. Чтобы найти образ множества, найдем значения функции на его границах. На левой границе, в точке $x=-4$ (которая включена в интервал): $f(-4) = 4 - \frac{-4}{2} = 4 + 2 = 6$. На правой границе, в точке $x=6$ (которая не включена в интервал): $f(6) = 4 - \frac{6}{2} = 4 - 3 = 1$. Так как функция убывающая, а интервал $A=[-4;6)$ включает левую границу и не включает правую, то образ множества будет интервалом, который не включает значение в правой точке и включает значение в левой. Интервал значений будет "перевернут" по сравнению с интервалом аргументов. Таким образом, образ множества $A=[-4;6)$ есть множество $(1; 6]$.
Ответ: $(1; 6]$.

в) Дана функция $f(x) = x^2 - x - 2$ и множество $A=[0;3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем вершину параболы, так как в ней достигается минимальное значение функции. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Координата $x_v = 0.5$ принадлежит отрезку $A=[0;3]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в вершине. $f_{min} = f(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Наибольшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Сравним значения функции в точках $x=0$ и $x=3$: $f(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2$. $f(3) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4$. Сравнивая значения, видим, что $f_{max} = f(3) = 4$. Таким образом, на отрезке $[0;3]$ функция принимает все значения от своего минимума до своего максимума. Образ множества $A=[0;3]$ есть отрезок $[-2.25; 4]$.
Ответ: $[-2.25; 4]$.