Номер 32, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

32. (3) Найдите решения уравнений:

а) $|-x^2-16|=8x$;

б) $x^2-4|x|+3=0$.

а) $|x^2 - 16| = 8x$

По определению модуля, левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательна. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ): $8x \ge 0$, откуда следует $x \ge 0$.

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений при условии $B \ge 0$. Раскрываем модуль:

1) $x^2 - 16 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 16 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.

$\sqrt{D} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$:

$x_1 = 4 + 4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $x_1 > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = 4 - 4\sqrt{2}$. Сравним $4$ и $4\sqrt{2}$. Так как $1 < \sqrt{2}$, то $4 < 4\sqrt{2}$, и, следовательно, $4 - 4\sqrt{2} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является посторонним.

2) $x^2 - 16 = -8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 8x - 16 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.

$\sqrt{D} = 8\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$:

$x_3 = -4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 4$. Так как $4\sqrt{2} \approx 4 \cdot 1.414 = 5.656 > 4$, то $x_3 > 0$. Этот корень подходит.

$x_4 = -4 - 4\sqrt{2}$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, $x_4 < 0$. Этот корень является посторонним.

Объединяя подходящие корни из обоих случаев, получаем решения исходного уравнения.

Ответ: $4\sqrt{2} - 4; 4\sqrt{2} + 4$.

б) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$

Заметим, что $x^2 = (|x|)^2$. Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:

$(|x|)^2 - 4|x| + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Учитывая, что модуль любого числа является неотрицательной величиной, имеем ограничение $t \ge 0$.

Получаем следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корни легко подбираются:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Оба найденных значения для $t$ неотрицательны, следовательно, оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) Если $t=1$, то $|x| = 1$. Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

2) Если $t=3$, то $|x| = 3$. Отсюда получаем еще два корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре решения.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.