Номер 3, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Доказать свойство 2) для случая убывающих функций.

Поскольку "свойство 2" не уточнено, будем доказывать одно из стандартных свойств, касающихся монотонных функций, которое часто рассматривается в учебных курсах. Вероятнее всего, речь идет о свойстве композиции функций, так как результат для убывающих функций отличается от результата для возрастающих.

Формулировка свойства: Если функция $y = f(x)$ является убывающей на промежутке $X$, и функция $z = g(y)$ является убывающей на промежутке $Y$, который содержит область значений функции $f$, то их композиция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей функцией на промежутке $X$.

Доказательство:

Нам нужно доказать, что функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей. Вспомним определения:

• Функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
• Функция $h(x)$ называется возрастающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ такие, что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $f(x)$ по условию является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Обозначим значения функции $f$ как $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Эти значения принадлежат промежутку $Y$. Тогда неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ можно переписать как $y_1 > y_2$.

Теперь рассмотрим функцию $g(y)$, которая по условию также является убывающей. Применим ее к значениям $y_1$ и $y_2$. Так как $g(y)$ убывает и $y_2 < y_1$, то по определению убывающей функции должно выполняться неравенство $g(y_2) > g(y_1)$, что эквивалентно $g(y_1) < g(y_2)$.

Подставим обратно исходные выражения через $x$:
$g(f(x_1)) < g(f(x_2))$.

Так как $h(x) = g(f(x))$, мы получили, что $h(x_1) < h(x_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, если $x_1 < x_2$, то $h(x_1) < h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей на промежутке $X$. Доказательство завершено.

Ответ: Свойство доказано. Композиция двух убывающих функций является возрастающей функцией. Для любых $x_1, x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ (так как $f$ убывает). Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$, тогда $y_1 > y_2$. Так как $g$ убывает, то из $y_2 < y_1$ следует $g(y_2) > g(y_1)$, то есть $g(f(x_2)) > g(f(x_1))$. Это означает, что $h(x_1) < h(x_2)$, следовательно, функция $h(x) = g(f(x))$ является возрастающей.