Номер 6, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Какие из следующих функций имеют обратные функции:

а) $f(x)=x+x^3$;

б) $f(x)=x-x^3$;

в) $f(x)=x|x|$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать). Строгая монотонность является достаточным условием обратимости функции, так как гарантирует ее взаимную однозначность (инъективность).

а) $f(x) = x + x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Для исследования на монотонность найдем производную функции: $f'(x) = (x + x^3)' = 1 + 3x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $f'(x) = 1 + 3x^2 \ge 1$. Так как производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, функция имеет обратную.
Ответ: имеет обратную функцию.

б) $f(x) = x - x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x - x^3)' = 1 - 3x^2$. Знак производной зависит от значения $x$. Найдем точки, в которых производная меняет знак: $1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. При $x \in (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$, производная $f'(x) > 0$, и функция возрастает. При $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$, производная $f'(x) < 0$, и функция убывает. Поскольку функция не является строго монотонной на всей области определения, она не имеет обратной функции. Например, можно найти различные значения $x$, для которых $f(x)$ одинаково: $f(0) = 0 - 0^3 = 0$ и $f(1) = 1 - 1^3 = 0$. Так как $f(0) = f(1)$, функция не является взаимно-однозначной (инъективной).
Ответ: не имеет обратной функции.

в) $f(x) = x|x|$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочном виде: $f(x) = \begin{cases} x \cdot x = x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ x \cdot (-x) = -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Исследуем на монотонность на каждом промежутке. При $x > 0$, $f(x) = x^2$. Эта функция строго возрастает. При $x < 0$, $f(x) = -x^2$. Эта функция также строго возрастает (например, при увеличении $x$ от $-2$ до $-1$, значение $f(x)$ увеличивается от $-4$ до $-1$). В точке $x=0$ функция непрерывна: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (x^2) = 0$, и $f(0)=0$. Поскольку функция строго возрастает при $x<0$ и при $x>0$ и непрерывна в точке $x=0$, она является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, функция имеет обратную.
Ответ: имеет обратную функцию.