Номер 7, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Для следующих функций $f(x)$ напишите формулу обратной функции $f^{-1}(x)$ и укажите область ее определения:

a) $f(x)=2x+7;$

б) $f(x)=\frac{x-2}{8x+5};$

в) $f(x)=\sqrt{3-2x}+1.$

а) Дана функция $f(x) = 2x+7$. Чтобы найти обратную функцию, сначала запишем ее в виде $y = 2x+7$.
Затем поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = 2y+7$
Теперь выразим $y$ через $x$, чтобы получить формулу для обратной функции $f^{-1}(x)$:
$x - 7 = 2y$
$y = \frac{x-7}{2}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{2}$.
Область определения исходной функции $f(x) = 2x+7$ (линейная функция) — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(f)$ также все действительные числа, $E(f) = (-\infty, +\infty)$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.
Следовательно, область определения $f^{-1}(x)$ — это все действительные числа.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{2}$, область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x-2}{8x+5}$. Запишем ее как $y = \frac{x-2}{8x+5}$.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \frac{y-2}{8y+5}$
Выразим $y$ из этого уравнения:
$x(8y+5) = y-2$
$8xy + 5x = y - 2$
$8xy - y = -5x - 2$
$y(8x - 1) = -5x - 2$
$y = \frac{-5x-2}{8x-1}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-5x-2}{8x-1}$.
Область определения обратной функции находится из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю:
$8x - 1 \neq 0$
$8x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{8}$
Эта область определения $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-5x-2}{8x-1}$, область определения: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, +\infty)$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x} + 1$.
Сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ исходной функции.
Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le \frac{3}{2}$. Значит, $D(f) = (-\infty, \frac{3}{2}]$.
Область значений: так как значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{3-2x} \ge 0$), то $f(x) = \sqrt{3-2x} + 1 \ge 1$. Значит, $E(f) = [1, +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Запишем $y = \sqrt{3-2x} + 1$ и поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{3-2y} + 1$
Выразим $y$:
$x - 1 = \sqrt{3-2y}$
Так как левая часть равна арифметическому корню, она должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие определяет область определения обратной функции, которая совпадает с областью значений исходной функции.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-1)^2 = 3 - 2y$
$2y = 3 - (x-1)^2$
$y = \frac{3 - (x^2 - 2x + 1)}{2}$
$y = \frac{3 - x^2 + 2x - 1}{2}$
$y = \frac{-x^2 + 2x + 2}{2}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-x^2+2x+2}{2}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-x^2+2x+2}{2}$, область определения: $x \in [1, +\infty)$.