Номер 2, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Являются ли функции, графики которых изображены на рисунках, взаимно однозначными?

а)

б)

в)

г)

е)

Функция $y=f(x)$ взаимно однозначна, если для любого $y_0 \in E(f)$ существует ровно одно $x_0$ такое, что $y_0=f(x_0)$. На рисунке б) для любого $y_0 \in [4;7)$ существует два значения $x_0$, для которых $y_0=f(x_0)$.

Следовательно, функция на рисунке б) не является взаимно однозначной и, как следствие, не имеет обратной. Аналогично, на рисунке г) функция принимает значение 3 в двух точках ($x=-4$ и $x=-1$) и по этой причине не является взаимно однозначной.

Становится понятным, что если хотя бы одна горизонтальная прямая имеет с графиком две или более общих точек, то функция не является взаимно однозначной. Обратно, если каждая горизонтальная прямая имеет с графиком $y=f(x)$ не более одной общей точки, то $f(x)$ – взаимно однозначная функция (рисунки а), в)). Очевидно, что такое свойство графика имеет место для любых монотонных функций.

Поговорим теперь о практическом способе нахождения обратных функций. Пусть $y=f(x)$ – некоторая аналитически заданная функция. Формула для функции $f^{-1}$, если она существует, по определению должна выражать $x$ через $y$. Но выразить $x$ через $y$– это значит решить уравнение $y=f(x)$, где $y$ можно рассматривать в качестве параметра. При этом если для всех $x$ уравнение $y=f(x)$ имеет один корень, то это автоматически означает, что ответ найден. Если же ответ неоднозначен, то нужно выбрать тот корень, который лежит в $D(f)$.

Функция является взаимно однозначной, если любому значению функции $y$ из её области значений соответствует ровно одно значение аргумента $x$ из области её определения. Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линии: функция является взаимно однозначной тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке.

a) График функции на рисунке а) является строго монотонно возрастающим на всей области определения. Любая горизонтальная прямая, проведенная на плоскости, пересечет этот график не более одного раза. Следовательно, данная функция является взаимно однозначной.
Ответ: Да, функция является взаимно однозначной.

б) График функции на рисунке б) не является монотонным: сначала функция возрастает, а затем убывает. Можно провести горизонтальную прямую, которая пересечет график в двух точках. Например, горизонтальная прямая $y=5$ пересекает график в двух различных точках. Это означает, что одному значению функции соответствуют два разных значения аргумента, поэтому функция не является взаимно однозначной.
Ответ: Нет, функция не является взаимно однозначной.

в) Анализируя график на рисунке в) в том виде, как он представлен, мы видим, что функция принимает значение $y=3$ в двух разных точках: при $x=-4$ и при $x=-1$. Это подтверждается наличием закрашенных точек $(-4, 3)$ и $(-1, 3)$ на графике. Поскольку существуют два разных значения аргумента ($x_1=-4$ и $x_2=-1$), которым соответствует одно и то же значение функции ($y=3$), данная функция не удовлетворяет определению взаимно однозначной.
Примечание: В тексте, сопровождающем задание, вероятно, содержится неточность, так как там утверждается, что функция на рисунке в) является взаимно однозначной. Это было бы правдой, если бы на графике точка $(-1, 3)$ была выколотой (пустой), а точка $(-1, 5)$ — закрашенной (сплошной).
Ответ: Нет, в том виде, как функция изображена на рисунке, она не является взаимно однозначной.

г) Для функции, изображенной на рисунке г), так же, как и в случае в), нарушается условие взаимной однозначности. Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках, так как $f(-4)=3$ и $f(-1)=3$. Наличие двух различных значений аргумента, дающих одно и то же значение функции, означает, что функция не является взаимно однозначной.
Ответ: Нет, функция не является взаимно однозначной.