Номер 16, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Поезд должен пройти 54 км. Поезд прошел 14 км и был задержан на 10 мин у светофора. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость.

16. (2)

Для решения задачи определим ключевые параметры и введем переменную.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда.

Общий путь составляет 54 км. Поезд проехал 14 км до остановки. Оставшаяся часть пути равна:
$S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Задержка у светофора составила 10 минут, а общее опоздание на станцию назначения — 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути поезд наверстал (сэкономил) часть времени задержки:
Сэкономленное время $= 10 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 8$ минут.

Переведем сэкономленное время в часы, так как скорость дана в км/ч:
$8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15}$ ч.

Время, которое поезд потратил бы на оставшиеся 40 км, если бы двигался с первоначальной скоростью $v$, равно:
$t_{план} = \frac{40}{v}$ ч.

Фактически, поезд ехал оставшиеся 40 км с увеличенной скоростью $(v + 10)$ км/ч. Время, затраченное на это, составило:
$t_{факт} = \frac{40}{v + 10}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения этого участка и есть сэкономленное время. Составим уравнение:
$t_{план} - t_{факт} = \frac{2}{15}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = \frac{2}{15}$

Решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{40(v + 10) - 40v}{v(v + 10)} = \frac{2}{15}$
$\frac{40v + 400 - 40v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$
$\frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(v^2 + 10v) = 400 \cdot 15$
$2(v^2 + 10v) = 6000$
Разделим обе части на 2:
$v^2 + 10v = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Теперь найдем значения $v$:
$v_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.