Номер 24, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (3)

a) $f(x) = \arccos 2x;$

б) $f(x) = \operatorname{arctg}(x^2);$

в) $f(x) = \operatorname{arcctg} \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}};$

г) $f(x) = x^2 \arcsin x.$

а) $f(x) = \arccos(2x)$

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Если функция имеет вид $y = g(h(x))$, то её производная равна $y' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Нам также понадобится формула производной арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \arccos u$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Найдём производную внутренней функции: $h'(x) = (2x)' = 2$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u = 2x$:

$f'(x) = (\arccos(2x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot (2x)'$

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2$

Упростим выражение:

$f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

б) $f(x) = \arctan(x^2)$

Эта функция также является сложной. Мы снова используем цепное правило. Формула производной арктангенса: $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

Здесь внешняя функция $g(u) = \arctan u$, а внутренняя функция $h(x) = x^2$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^2)' = 2x$.

Применяем цепное правило с $u = x^2$:

$f'(x) = (\arctan(x^2))' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)'$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^4} \cdot 2x$

Запишем итоговый результат:

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$

в) $f(x) = \text{arccotg} \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}$

Это более сложная композиция функций, поэтому цепное правило применяется последовательно. Формула производной арккотангенса: $(\text{arccotg } u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}$. Сначала найдём производную $u'(x)$.

$u(x)$ сама является сложной функцией, где внешняя функция — это квадратный корень, а внутренняя — $v(x) = x^2 - \frac{\pi}{6}$.

$u'(x) = (\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}})' = ((x^2 - \frac{\pi}{6})^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 - \frac{\pi}{6})^{-1/2} \cdot (x^2 - \frac{\pi}{6})'$

$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Теперь мы можем найти производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = (\text{arccotg } u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'(x)$

$f'(x) = -\frac{1}{1 + (\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}})^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

$f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2 - \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Окончательно:

$f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1 - \frac{\pi}{6})\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1 - \frac{\pi}{6})\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

г) $f(x) = x^2 \arcsin x$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = \arcsin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдём производные каждой из функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Теперь подставим эти производные в правило произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \arcsin x + x^2 \cdot (\arcsin x)'$

$f'(x) = 2x \cdot \arcsin x + x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Запишем результат в более аккуратном виде:

$f'(x) = 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

Ответ: $f'(x) = 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$