Номер 22, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. (3)

а) $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$;

б) $f(x)=\sqrt{x\sin 2x}$;

в) $f(x)=\sqrt{\cos x\sin x}$;

г) $f(x)=\cot^2\sqrt{2x^3-3x^2}$;

д) $f(x)=\sin\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$;

е) $f(x)=\frac{\sin\sqrt{2x^3+6x}}{\cos\sqrt{2x^3+6x}}$.

а) Для функции $f(x) = \sqrt{x + \sin x}$ область определения задается условием неотрицательности выражения под знаком квадратного корня:$x + \sin x \ge 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = x + \sin x$. Найдем ее производную:$g'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.Поскольку значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos x \le 1$, производная $g'(x)$ всегда неотрицательна: $0 \le 1 + \cos x \le 2$.Это означает, что функция $g(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой.Найдем значение функции в точке $x=0$:$g(0) = 0 + \sin 0 = 0$.Так как функция $g(x)$ не убывает, то для всех $x \ge 0$ будет выполняться $g(x) \ge g(0)$, то есть $x + \sin x \ge 0$.Для всех $x < 0$ будет выполняться $g(x) < g(0)$, то есть $x + \sin x < 0$.Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это множество всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Для функции $f(x) = \sqrt{x \sin 2x}$ область определения задается условием:$x \sin 2x \ge 0$.Это неравенство выполняется в двух случаях:1. Оба множителя неотрицательны: $x \ge 0$ и $\sin 2x \ge 0$. Условие $\sin 2x \ge 0$ выполняется, когда $2k\pi \le 2x \le (2k+1)\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $k\pi \le x \le k\pi + \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем $k \ge 0$. Таким образом, решения в этом случае: $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$.2. Оба множителя неположительны: $x \le 0$ и $\sin 2x \le 0$. Условие $\sin 2x \le 0$ выполняется, когда $(2k-1)\pi \le 2x \le 2k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $k\pi - \frac{\pi}{2} \le x \le k\pi$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $k\pi \le 0$, то есть $k \le 0$. Таким образом, решения в этом случае: $x \in \bigcup_{k=-\infty}^{0} [k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi]$.Объединяя решения обоих случаев, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in \left(\bigcup_{k=-\infty}^{0} [k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi]\right) \cup \left(\bigcup_{k=0}^{\infty} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{\cos x \sin x}$ область определения задается условием:$\cos x \sin x \ge 0$.Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$, преобразуем неравенство:$\frac{1}{2} \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \ge 0$.Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в первой или второй четверти (включая границы), то есть:$2k\pi \le 2x \le (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Разделив все части неравенства на 2, получим:$k\pi \le x \le k\pi + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$.

г) Для функции $f(x) = \text{ctg}^2 \sqrt{2x^3 - 8x^2}$ необходимо выполнить два условия:1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^3 - 8x^2 \ge 0 \implies 2x^2(x-4) \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, это неравенство сводится к $x-4 \ge 0$ или $x=0$. Таким образом, $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.2. Аргумент котангенса не должен быть равен $n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как котангенс в этих точках не определен. $\sqrt{2x^3 - 8x^2} \ne n\pi$. Поскольку корень всегда неотрицателен, рассматриваем $n \ge 0$. При $n=0$: $\sqrt{2x^3 - 8x^2} \ne 0 \implies 2x^2(x-4) \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $x \ne 4$. Из множества $\{0\} \cup [4, +\infty)$ исключаем точки $0$ и $4$, получая интервал $(4, +\infty)$. При $n \ge 1$ ($n \in \mathbb{N}$): необходимо исключить значения $x$, для которых $2x^3 - 8x^2 = (n\pi)^2$. Функция $g(x) = 2x^3 - 8x^2$ строго возрастает на $(4, +\infty)$, поэтому для каждого $n \in \mathbb{N}$ существует единственное решение $x_n > 4$, которое нужно исключить.

Ответ: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4 \text{ и } 2x^3 - 8x^2 \ne (n\pi)^2 \text{ для любого } n \in \mathbb{N}\}$.

д) Для функции $f(x) = \sin \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ область определения задается условиями для подкоренного выражения:1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{x+1}{x-1} \ge 0$.Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=-1$ (числитель равен 0) и $x=1$ (знаменатель равен 0).Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.- На интервале $(-\infty, -1)$: например, при $x=-2$, $\frac{-2+1}{-2-1} = \frac{1}{3} > 0$.- На интервале $(-1, 1)$: например, при $x=0$, $\frac{0+1}{0-1} = -1 < 0$.- На интервале $(1, +\infty)$: например, при $x=2$, $\frac{2+1}{2-1} = 3 > 0$.Точка $x=-1$ включается в решение, так как неравенство нестрогое. Точка $x=1$ исключается.Область определения — это объединение интервалов, где дробь неотрицательна.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, +\infty)$.

е) Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{\sin \sqrt{2x^3+6x}}{\cos \sqrt{2x^3+6x}} = \tan(\sqrt{2x^3+6x})$.Область определения задается двумя условиями:1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^3 + 6x \ge 0 \implies 2x(x^2+3) \ge 0$. Поскольку $x^2+3$ всегда больше нуля, это неравенство эквивалентно $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.2. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках тангенс не определен (знаменатель $\cos(\dots)$ равен нулю). $\sqrt{2x^3+6x} \ne \frac{\pi}{2} + n\pi$. Поскольку корень неотрицателен, выражение $\frac{\pi}{2} + n\pi$ также должно быть неотрицательным, что выполняется при $n \ge 0$ ($n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$). Значит, нужно исключить из области $x \ge 0$ все значения $x$, для которых $2x^3+6x = (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2$ для $n=0, 1, 2, ...$ Функция $h(x) = 2x^3+6x$ строго возрастает на $[0, +\infty)$, поэтому для каждого $n \ge 0$ существует единственное решение $x_n$, которое нужно исключить.

Ответ: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \text{ и } 2x^3+6x \ne (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2 \text{ для любого целого } n \ge 0\}$.