Номер 33, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

33. Вычислите:

а) $g'(0)$, если $g(x) = x^6 (7-x)^7$;

б) $h'(2)$, если $h(x) = (3-x)^5 (2x-3)^4$;

в) $u'(-1)$, если $u(x) = \left(\frac{2}{x} + 3\right)^6 (3x+4)^{10}$;

г) $f'(-0,5)$, если $g(x) = 4x(8x+5)^5$.

а) Чтобы найти производную функции $g(x) = x^6(7-x)^7$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^6$ и $v(x) = (7-x)^7$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$.
Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(h(x)))' = f'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$v'(x) = ((7-x)^7)' = 7(7-x)^{7-1} \cdot (7-x)' = 7(7-x)^6 \cdot (-1) = -7(7-x)^6$.
Теперь найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 6x^5(7-x)^7 + x^6(-7(7-x)^6) = 6x^5(7-x)^7 - 7x^6(7-x)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x=0$:
$g'(0) = 6(0)^5(7-0)^7 - 7(0)^6(7-0)^6 = 6 \cdot 0 \cdot 7^7 - 7 \cdot 0 \cdot 7^6 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: $0$.

б) Дана функция $h(x) = (3-x)^5(2x-3)^4$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (3-x)^5$ и $v(x) = (2x-3)^4$.
Найдем их производные, используя правило для сложной функции:
$u'(x) = ((3-x)^5)' = 5(3-x)^4 \cdot (3-x)' = 5(3-x)^4 \cdot (-1) = -5(3-x)^4$.
$v'(x) = ((2x-3)^4)' = 4(2x-3)^3 \cdot (2x-3)' = 4(2x-3)^3 \cdot 2 = 8(2x-3)^3$.
Производная функции $h(x)$ равна:
$h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -5(3-x)^4(2x-3)^4 + (3-x)^5 \cdot 8(2x-3)^3$.
Вычислим значение производной в точке $x=2$:
$h'(2) = -5(3-2)^4(2 \cdot 2 - 3)^4 + (3-2)^5 \cdot 8(2 \cdot 2 - 3)^3$.
$h'(2) = -5(1)^4(4-3)^4 + (1)^5 \cdot 8(4-3)^3 = -5 \cdot 1 \cdot 1^4 + 1 \cdot 8 \cdot 1^3 = -5 + 8 = 3$.
Ответ: $3$.

в) Дана функция $u(x) = \left(\frac{2}{x}+3\right)^6(3x+4)^{10}$. Применим правило дифференцирования произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
Пусть $f(x) = \left(\frac{2}{x}+3\right)^6$ и $g(x) = (3x+4)^{10}$.
Найдем их производные:
$f'(x) = 6\left(\frac{2}{x}+3\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{x}+3\right)' = 6\left(\frac{2}{x}+3\right)^5 \cdot \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{12}{x^2}\left(\frac{2}{x}+3\right)^5$.
$g'(x) = 10(3x+4)^9 \cdot (3x+4)' = 10(3x+4)^9 \cdot 3 = 30(3x+4)^9$.
Производная функции $u(x)$:
$u'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = -\frac{12}{x^2}\left(\frac{2}{x}+3\right)^5(3x+4)^{10} + \left(\frac{2}{x}+3\right)^6 \cdot 30(3x+4)^9$.
Вычислим значение производной в точке $x=-1$. Сначала найдем значения выражений в скобках:
При $x=-1$, $\frac{2}{x}+3 = \frac{2}{-1}+3 = -2+3 = 1$.
При $x=-1$, $3x+4 = 3(-1)+4 = -3+4 = 1$.
Подставим эти значения в выражение для производной:
$u'(-1) = -\frac{12}{(-1)^2}(1)^5(1)^{10} + (1)^6 \cdot 30(1)^9 = -\frac{12}{1} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 30 \cdot 1 = -12 + 30 = 18$.
Ответ: $18$.

г) В условии, по-видимому, опечатка. Будем считать, что нужно найти $f'(-0.5)$, если $f(x) = 4x(8x+5)^5$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = (8x+5)^5$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (4x)' = 4$.
$v'(x) = ((8x+5)^5)' = 5(8x+5)^4 \cdot (8x+5)' = 5(8x+5)^4 \cdot 8 = 40(8x+5)^4$.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4(8x+5)^5 + 4x \cdot 40(8x+5)^4 = 4(8x+5)^5 + 160x(8x+5)^4$.
Вычислим значение производной в точке $x=-0.5$:
Сначала найдем значение выражения $8x+5$ при $x=-0.5$:
$8(-0.5)+5 = -4+5=1$.
Подставим это значение в выражение для производной:
$f'(-0.5) = 4(1)^5 + 160(-0.5)(1)^4 = 4 \cdot 1 + 160(-0.5) \cdot 1 = 4 - 80 = -76$.
Ответ: $-76$.