Номер 31, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

31. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=4\sqrt{\cos x}$ , $g(x)=\sqrt{\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}$ , $h(x)=\cos \sqrt{x}$ , $u(x)=\cos \sqrt{x^2+1}$;

б) $f(x)=\operatorname{arctg}^3 x$ , $g(x)=\operatorname{arctg}^2 (5x)$ , $h(x)=\operatorname{arctg}(2x^3)$ , $u(x)=\operatorname{arctg}^2 (x^2+1)$.

а)

Для функции $f(x) = 4\sqrt{\cos x}$ используем правило дифференцирования сложной функции и правило для производной произведения константы на функцию. Внешняя функция — $4\sqrt{u}$, внутренняя — $u = \cos x$.
$f'(x) = 4 \cdot (\sqrt{\cos x})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{2\sin x}{\sqrt{\cos x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2\sin x}{\sqrt{\cos x}}$.

Для функции $g(x) = \sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — $\sqrt{u}$, промежуточная — $\cos v$, внутренняя — $v = 2x - \frac{\pi}{3}$.
$g'(x) = (\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}} \cdot (\cos(2x - \frac{\pi}{3}))' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}} \cdot (-\sin(2x - \frac{\pi}{3})) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = \frac{-2\sin(2x - \frac{\pi}{3})}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{\sin(2x - \frac{\pi}{3})}{\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}}$.

Для функции $h(x) = \cos\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $\cos u$, внутренняя — $u = \sqrt{x}$.
$h'(x) = (\cos\sqrt{x})' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x})' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Для функции $u(x) = \cos\sqrt{x^2+1}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — $\cos v$, промежуточная — $\sqrt{w}$, внутренняя — $w = x^2+1$.
$u'(x) = (\cos\sqrt{x^2+1})' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot (\sqrt{x^2+1})' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{x\sin\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$.

б)

Для функции $f(x) = \text{arctg}^3 x = (\text{arctg } x)^3$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $u^3$, внутренняя — $u = \text{arctg } x$.
$f'(x) = 3(\text{arctg } x)^2 \cdot (\text{arctg } x)' = 3\text{arctg}^2 x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{3\text{arctg}^2 x}{1+x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3\text{arctg}^2 x}{1+x^2}$.

Для функции $g(x) = \text{arctg}^2(5x) = (\text{arctg}(5x))^2$ используем цепное правило. Внешняя функция — $u^2$, промежуточная — $\text{arctg } v$, внутренняя — $v=5x$.
$g'(x) = 2\text{arctg}(5x) \cdot (\text{arctg}(5x))' = 2\text{arctg}(5x) \cdot \frac{1}{1+(5x)^2} \cdot (5x)' = 2\text{arctg}(5x) \cdot \frac{5}{1+25x^2}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{10\text{arctg}(5x)}{1+25x^2}$.

Для функции $h(x) = \text{arctg}(2x^3)$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $\text{arctg } u$, внутренняя — $u = 2x^3$.
$h'(x) = \frac{1}{1+(2x^3)^2} \cdot (2x^3)' = \frac{1}{1+4x^6} \cdot 6x^2 = \frac{6x^2}{1+4x^6}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{6x^2}{1+4x^6}$.

Для функции $u(x) = \text{arctg}^2(x^2+1) = (\text{arctg}(x^2+1))^2$ используем цепное правило. Внешняя функция — $v^2$, промежуточная — $\text{arctg } w$, внутренняя — $w=x^2+1$.
$u'(x) = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot (\text{arctg}(x^2+1))' = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot \frac{1}{1+(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)' = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot \frac{2x}{1+(x^4+2x^2+1)} = \frac{4x\text{arctg}(x^2+1)}{x^4+2x^2+2}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{4x\text{arctg}(x^2+1)}{x^4+2x^2+2}$.