Номер 27, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$, если $f(x)=\frac{1}{x^2-4x}$;

б) $f'(x) < \frac{4}{(2x^2-1)}$, если $f(x)=\frac{1}{2x^2-1}$.

а) Решим неравенство $f'(x) \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$, если $f(x) = \frac{1}{x^2-4x}$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (x^2-4x)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\text{u}^{-1})' = -\text{u}^{-2} \cdot \text{u}'$, где $\text{u} = x^2-4x$ и $\text{u}' = 2x-4$, получаем:

$f'(x) = -(x^2-4x)^{-2} \cdot (2x-4) = -\frac{2x-4}{(x^2-4x)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство:

$\frac{4-2x}{(x^2-4x)^2} \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x^2-4x \neq 0 \Rightarrow x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$.

4. Преобразуем и решим неравенство. Заметим, что $(x^2-4x)^2 = (-(4x-x^2))^2 = (4x-x^2)^2$. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{4-2x}{(4x-x^2)^2} - \frac{2}{3(4x-x^2)} \geq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $3(4x-x^2)^2$:

$\frac{3(4-2x) - 2(4x-x^2)}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

$\frac{12 - 6x - 8x + 2x^2}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

$\frac{2x^2 - 14x + 12}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

Знаменатель $3(4x-x^2)^2$ в ОДЗ всегда строго больше нуля, поэтому знак дроби определяется знаком числителя:

$2x^2 - 14x + 12 \geq 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 7x + 6 \geq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=6$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-6) \geq 0$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [6, \infty)$.

5. Учтем ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Точка $x=0$ входит в промежуток $(-\infty, 1]$, поэтому ее необходимо исключить. Точка $x=4$ не входит в найденное решение.

Итоговое решение: $(-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [6, \infty)$.

б) Решим неравенство $f'(x) < \frac{4}{(2x^2-1)^2}$, если $f(x) = \frac{1}{2x^2-1}$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (2x^2-1)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\text{u}^{-1})' = -\text{u}^{-2} \cdot \text{u}'$, где $\text{u} = 2x^2-1$ и $\text{u}' = 4x$, получаем:

$f'(x) = -(2x^2-1)^{-2} \cdot (4x) = -\frac{4x}{(2x^2-1)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство:

$-\frac{4x}{(2x^2-1)^2} < \frac{4}{(2x^2-1)^2}$

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$2x^2-1 \neq 0 \Rightarrow 2x^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{2} \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Решим неравенство. Перенесем все члены в правую часть:

$0 < \frac{4}{(2x^2-1)^2} + \frac{4x}{(2x^2-1)^2}$

$\frac{4+4x}{(2x^2-1)^2} > 0$

Знаменатель $(2x^2-1)^2$ в ОДЗ всегда строго больше нуля, поэтому знак дроби определяется знаком числителя:

$4+4x > 0$

$4x > -4$

$x > -1$

5. Учтем ОДЗ ($x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$).

Решением является интервал $(-1, \infty)$. Необходимо исключить из этого интервала точки $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Обе эти точки принадлежат интервалу $(-1, \infty)$, так как $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ и $-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

Разбивая интервал $(-1, \infty)$ в этих точках, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.