Номер 22, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

22. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\sqrt{x+2}$, $g(x)=2\sqrt{\frac{x}{2}-8}$, $h(x)=-4\sqrt{14-\sin x}$, $u(x)=-4\sqrt{\sin 7x+5}$.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Также будем использовать производную степенной функции, в частности, производную квадратного корня: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

f(x) = $\sqrt{x+2}$

Эта функция является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень $y(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция — $u(x) = x+2$.

Найдём производную внутренней функции:

$u'(x) = (x+2)' = 1$.

Теперь применим цепное правило:

$f'(x) = (\sqrt{x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot (x+2)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

g(x) = $2\sqrt{\frac{x}{2}-8}$

Здесь у нас сложная функция с постоянным множителем 2. Сначала вынесем константу за знак производной.

$g'(x) = (2\sqrt{\frac{x}{2}-8})' = 2 \cdot (\sqrt{\frac{x}{2}-8})'$.

Внутренняя функция здесь $u(x) = \frac{x}{2}-8$. Её производная:

$u'(x) = (\frac{x}{2}-8)' = \frac{1}{2}$.

Применяем цепное правило для оставшейся части:

$(\sqrt{\frac{x}{2}-8})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot (\frac{x}{2}-8)' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь умножим на константу 2:

$g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4\sqrt{\frac{x}{2}-8}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}}$.

Ответ: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{2}-8}}$

h(x) = $-4\sqrt{14-\sin x}$

Эта функция также сложная с постоянным множителем -4.

$h'(x) = (-4\sqrt{14-\sin x})' = -4 \cdot (\sqrt{14-\sin x})'$.

Внутренняя функция $u(x) = 14-\sin x$. Её производная:

$u'(x) = (14-\sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.

Применяем цепное правило:

$(\sqrt{14-\sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{14-\sin x}} \cdot (14-\sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{14-\sin x}} \cdot (-\cos x)$.

Умножаем на константу -4:

$h'(x) = -4 \cdot \frac{-\cos x}{2\sqrt{14-\sin x}} = \frac{4\cos x}{2\sqrt{14-\sin x}} = \frac{2\cos x}{\sqrt{14-\sin x}}$.

Ответ: $h'(x) = \frac{2\cos x}{\sqrt{14-\sin x}}$

u(x) = $-4\sqrt{\sin(7x)+5}$

Это многократно вложенная сложная функция. Применим цепное правило последовательно.

$u'(x) = (-4\sqrt{\sin(7x)+5})' = -4 \cdot (\sqrt{\sin(7x)+5})'$.

Внешняя функция $y(v) = \sqrt{v}$, а внутренняя $v(x) = \sin(7x)+5$.

Найдём производную внутренней функции $v(x)$, которая сама является сложной функцией. В ней внешняя функция $w(z) = \sin z + 5$, а внутренняя $z(x) = 7x$.

$v'(x) = (\sin(7x)+5)' = (\sin(7x))' + (5)' = \cos(7x) \cdot (7x)' + 0 = 7\cos(7x)$.

Теперь применяем цепное правило к исходной функции:

$(\sqrt{\sin(7x)+5})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} \cdot (\sin(7x)+5)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} \cdot 7\cos(7x)$.

Наконец, умножаем на константу -4:

$u'(x) = -4 \cdot \frac{7\cos(7x)}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} = \frac{-28\cos(7x)}{2\sqrt{\sin(7x)+5}} = -\frac{14\cos(7x)}{\sqrt{\sin(7x)+5}}$.

Ответ: $u'(x) = -\frac{14\cos(7x)}{\sqrt{\sin(7x)+5}}$