Номер 17, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) \geq 0$, если $f(x) = \cos 2x - x$;

б) $f'(x) \leq 1$, если $f(x) = \sin x - \cos x$;

в) $f'(x) \geq 5$, если $f(x) = \sin^2 x + 4x$;

г) $f'(x) \geq \cos x$, если $f(x) = \cos x$.

а) $f'(x)\ge0$, если $f(x)=\cos2x-x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\cos(2x)$ и правило для степенной функции для $-x$.
$f'(x) = (\cos(2x)-x)' = (\cos(2x))' - (x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' - 1 = -2\sin(2x) - 1$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge 0$:
$-2\sin(2x) - 1 \ge 0$.

3. Решим полученное тригонометрическое неравенство:
$-2\sin(2x) \ge 1$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$\sin(2x) \le -\frac{1}{2}$.

4. Решим неравенство $\sin(t) \le -\frac{1}{2}$, где $t=2x$.
На единичной окружности этому условию соответствуют значения $t$, для которых выполняется двойное неравенство:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t=2x$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

6. Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$-\frac{5\pi}{12} + \pi n \le x \le -\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{12} + \pi n; -\frac{\pi}{12} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $f'(x)\le1$, если $f(x)=\sin x-\cos x$

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \le 1$:
$\cos x + \sin x \le 1$.

3. Решим полученное неравенство методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) \le 1$.
Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем применить формулу синуса суммы:
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}) \le 1$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. Решим неравенство $\sin(t) \le \frac{1}{\sqrt{2}}$, где $t = x+\frac{\pi}{4}$.
Это неравенство выполняется для всех $t$, кроме интервала $(\frac{\pi}{4}+2\pi n; \frac{3\pi}{4}+2\pi n)$.
Следовательно, решением является:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, что то же самое, что и $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t = x+\frac{\pi}{4}$:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$.

6. Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{2\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{8\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi(n+1)]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $f'(x)\ge5$, если $f(x)=\sin^2 x+4x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\sin^2 x$:
$f'(x) = (\sin^2 x + 4x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' + 4 = 2\sin x \cos x + 4$.

2. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:
$f'(x) = \sin(2x) + 4$.

3. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge 5$:
$\sin(2x) + 4 \ge 5$.

4. Решим полученное неравенство:
$\sin(2x) \ge 1$.

5. Поскольку область значений функции синус $[-1; 1]$, данное неравенство может выполняться только в одном случае, когда $\sin(2x)$ равен своему максимальному значению, то есть 1.
$\sin(2x) = 1$.

6. Решим это уравнение:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7. Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $f'(x)\ge \cos x$, если $f(x)=\cos x$

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge \cos x$:
$-\sin x \ge \cos x$.

3. Перенесем все члены в левую часть и решим неравенство:
$-\sin x - \cos x \ge 0$
$\sin x + \cos x \le 0$.

4. Как и в пункте б), используем метод вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) \le 0$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 0$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 0$.

5. Решим неравенство $\sin(t) \le 0$, где $t = x+\frac{\pi}{4}$.
Синус не положителен в третьей и четвертой четвертях, то есть:
$\pi + 2\pi n \le t \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Сделаем обратную замену $t = x+\frac{\pi}{4}$:
$\pi + 2\pi n \le x+\frac{\pi}{4} \le 2\pi + 2\pi n$.

7. Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.