Номер 18, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=-x$, $g(x)=\frac{x^2}{2}$, $h(x)=\frac{x^3}{3}$, $u(x)=\frac{x^4}{4}$, $v(x)=\frac{x^m}{m}$;

б) $f(x)=-\frac{1}{5x^5}$, $g(x)=\frac{1}{6x^3}$, $h(x)=\frac{1}{14x^7}$, $u(x)=\frac{1}{24x^8}$, $v(x)=-\frac{1}{3^{95}(x^3)^{91}}$.

a) Для нахождения производных будем использовать формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Для функции $f(x)=-x = -1 \cdot x^1$:
$f'(x) = (-x)' = (-1 \cdot x^1)' = -1 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -1 \cdot x^0 = -1$.
Ответ: $f'(x) = -1$.

Для функции $g(x) = \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2$:
$g'(x) = (\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$.
Ответ: $g'(x) = x$.

Для функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} = -\frac{1}{3}x^3$:
$h'(x) = (-\frac{1}{3}x^3)' = -\frac{1}{3} \cdot (x^3)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = -x^2$.
Ответ: $h'(x) = -x^2$.

Для функции $u(x) = \frac{x^4}{4} = \frac{1}{4}x^4$:
$u'(x) = (\frac{1}{4}x^4)' = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$.
Ответ: $u'(x) = x^3$.

Для функции $v(x) = \frac{x^m}{m} = \frac{1}{m}x^m$ (где $m$ - константа):
$v'(x) = (\frac{1}{m}x^m)' = \frac{1}{m} \cdot (x^m)' = \frac{1}{m} \cdot mx^{m-1} = x^{m-1}$.
Ответ: $v'(x) = x^{m-1}$.

б) Для нахождения производных представим функции в виде $C \cdot x^n$, используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, и применим те же правила дифференцирования.
Для функции $f(x) = -\frac{1}{5x^5} = -\frac{1}{5}x^{-5}$:
$f'(x) = (-\frac{1}{5}x^{-5})' = -\frac{1}{5} \cdot (x^{-5})' = -\frac{1}{5} \cdot (-5)x^{-5-1} = x^{-6} = \frac{1}{x^6}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x^6}$.

Для функции $g(x) = \frac{1}{6x^3} = \frac{1}{6}x^{-3}$:
$g'(x) = (\frac{1}{6}x^{-3})' = \frac{1}{6} \cdot (x^{-3})' = \frac{1}{6} \cdot (-3)x^{-3-1} = -\frac{3}{6}x^{-4} = -\frac{1}{2}x^{-4} = -\frac{1}{2x^4}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{1}{2x^4}$.

Для функции $h(x) = -\frac{1}{14x^7} = -\frac{1}{14}x^{-7}$:
$h'(x) = (-\frac{1}{14}x^{-7})' = -\frac{1}{14} \cdot (x^{-7})' = -\frac{1}{14} \cdot (-7)x^{-7-1} = \frac{7}{14}x^{-8} = \frac{1}{2}x^{-8} = \frac{1}{2x^8}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{1}{2x^8}$.

Для функции $u(x) = \frac{1}{24x^8} = \frac{1}{24}x^{-8}$:
$u'(x) = (\frac{1}{24}x^{-8})' = \frac{1}{24} \cdot (x^{-8})' = \frac{1}{24} \cdot (-8)x^{-8-1} = -\frac{8}{24}x^{-9} = -\frac{1}{3}x^{-9} = -\frac{1}{3x^9}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{1}{3x^9}$.

Для функции $v(x) = -\frac{1}{3^{95}(x^2)^{91}}$:
Сначала упростим выражение: $v(x) = -\frac{1}{3^{95}x^{2 \cdot 91}} = -\frac{1}{3^{95}x^{182}}$.
Теперь представим в виде $v(x) = -\frac{1}{3^{95}}x^{-182}$.
$v'(x) = (-\frac{1}{3^{95}}x^{-182})' = -\frac{1}{3^{95}} \cdot (x^{-182})' = -\frac{1}{3^{95}} \cdot (-182)x^{-182-1} = \frac{182}{3^{95}}x^{-183} = \frac{182}{3^{95}x^{183}}$.
Ответ: $v'(x) = \frac{182}{3^{95}x^{183}}$.