Номер 16, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. Вычислите:

а) $g'(-9)$, если $g(x) = x(x+10)^5$;

б) $h'(1)$, если $h(x) = 2x(3x-2)^7$;

в) $u'(-1)$, если $u(x) = (2x+1)^4(2+3x)^9$;

г) $f'(-3)$, если $g(x) = 3x\left(\frac{9}{x}+4\right)^3$.

а) g'(-9), если g(x) = x(x+10)⁵
Для нахождения производной функции $g(x)$, которая представляет собой произведение двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=(x+10)^5$, используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x)' = 1$
Для $v(x)$ используем правило производной сложной функции:
$v'(x) = ((x+10)^5)' = 5(x+10)^4 \cdot (x+10)' = 5(x+10)^4 \cdot 1 = 5(x+10)^4$
Теперь найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = 1 \cdot (x+10)^5 + x \cdot 5(x+10)^4 = (x+10)^5 + 5x(x+10)^4$.
Вычислим значение производной в точке $x = -9$:
$g'(-9) = (-9+10)^5 + 5(-9)(-9+10)^4 = (1)^5 - 45 \cdot (1)^4 = 1 - 45 = -44$.
Ответ: -44

б) h'(1), если h(x) = 2x(3x-2)⁷
Используем правило дифференцирования произведения для функции $h(x) = u(x)v(x)$, где $u(x)=2x$ и $v(x)=(3x-2)^7$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2x)' = 2$
$v'(x) = ((3x-2)^7)' = 7(3x-2)^6 \cdot (3x-2)' = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6$.
Найдем производную $h'(x)$:
$h'(x) = 2 \cdot (3x-2)^7 + 2x \cdot 21(3x-2)^6 = 2(3x-2)^7 + 42x(3x-2)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$h'(1) = 2(3 \cdot 1 - 2)^7 + 42 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 1 - 2)^6 = 2(1)^7 + 42(1)^6 = 2 + 42 = 44$.
Ответ: 44

в) u'(-1), если u(x) = (2x+1)⁴(2+3x)⁹
Функция $u(x)$ является произведением двух функций $f(x) = (2x+1)^4$ и $g(x) = (2+3x)^9$. Используем правило дифференцирования произведения: $(fg)' = f'g + fg'$.
Найдем производные $f'(x)$ и $g'(x)$:
$f'(x) = ((2x+1)^4)' = 4(2x+1)^3 \cdot (2x+1)' = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$.
$g'(x) = ((2+3x)^9)' = 9(2+3x)^8 \cdot (2+3x)' = 9(2+3x)^8 \cdot 3 = 27(2+3x)^8$.
Найдем производную $u'(x)$:
$u'(x) = f'g + fg' = 8(2x+1)^3(2+3x)^9 + (2x+1)^4 \cdot 27(2+3x)^8$.
Вычислим значение производной в точке $x = -1$:
$u'(-1) = 8(2(-1)+1)^3(2+3(-1))^9 + (2(-1)+1)^4 \cdot 27(2+3(-1))^8$
$u'(-1) = 8(-1)^3(-1)^9 + (-1)^4 \cdot 27 \cdot (-1)^8 = 8(-1)(-1) + 1 \cdot 27 \cdot 1 = 8 + 27 = 35$.
Ответ: 35

г) f'(-3), если g(x) = 3x(9/x + 4)³
В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка, и требуется найти $g'(-3)$.
Функция $g(x) = 3x(\frac{9}{x} + 4)^3$. Для нахождения производной используем правило произведения для $u(x)=3x$ и $v(x)=(\frac{9}{x} + 4)^3$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (3x)' = 3$.
$v(x) = (9x^{-1} + 4)^3$, тогда по правилу производной сложной функции:
$v'(x) = 3(9x^{-1} + 4)^2 \cdot (9x^{-1} + 4)' = 3(\frac{9}{x} + 4)^2 \cdot (-9x^{-2}) = -\frac{27}{x^2}(\frac{9}{x} + 4)^2$.
Найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = u'v + uv' = 3(\frac{9}{x} + 4)^3 + 3x \left(-\frac{27}{x^2}(\frac{9}{x} + 4)^2\right) = 3(\frac{9}{x} + 4)^3 - \frac{81}{x}(\frac{9}{x} + 4)^2$.
Вычислим значение производной в точке $x = -3$:
$g'(-3) = 3(\frac{9}{-3} + 4)^3 - \frac{81}{-3}(\frac{9}{-3} + 4)^2 = 3(-3+4)^3 - (-27)(-3+4)^2 = 3(1)^3 + 27(1)^2 = 3+27=30$.
Ответ: 30