Номер 10, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) > \frac{1}{2(x-1)}$, если $f(x) = -\frac{1}{x-1}$;

б) $f'(x) \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$, если $f(x) = -\frac{1}{x^2-1}$.

a)

1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{x-1}$.

Для удобства представим функцию в виде $f(x) = -(x-1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, получаем:

$f'(x) = -(-1) \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = 1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{(x-1)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство $f'(x) > \frac{1}{2(x-1)}$:

$\frac{1}{(x-1)^2} > \frac{1}{2(x-1)}$.

3. Решим полученное неравенство. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Перенесём все члены неравенства в левую часть и приведём их к общему знаменателю $2(x-1)^2$:

$\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{2(x-1)} > 0$

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot (x-1)}{2(x-1)^2} > 0$

$\frac{2 - x + 1}{2(x-1)^2} > 0$

$\frac{3 - x}{2(x-1)^2} > 0$.

Знаменатель $2(x-1)^2$ всегда положителен при любом $x$ из ОДЗ ($x \neq 1$). Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 3$. Объединяя с условием $x \neq 1$, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3)$.

б)

1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{x^2-1}$.

Представим функцию в виде $f(x) = -(x^2-1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = -(-1) \cdot (x^2-1)^{-1-1} \cdot (x^2-1)' = (x^2-1)^{-2} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2-1)^2}$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$:

$\frac{2x}{(x^2-1)^2} \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$.

3. Решим это неравенство. ОДЗ: $x^2-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю $3(x^2-1)^2$:

$\frac{2x}{(x^2-1)^2} - \frac{4}{3(x^2-1)} \leq 0$

$\frac{3 \cdot 2x - 4 \cdot (x^2-1)}{3(x^2-1)^2} \leq 0$

$\frac{6x - 4x^2 + 4}{3(x^2-1)^2} \leq 0$.

Знаменатель $3(x^2-1)^2$ положителен при всех $x$ из ОДЗ. Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя:

$-4x^2 + 6x + 4 \leq 0$.

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - 3x - 2 \geq 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = -0.5$; $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = 2$.

График функции $y=2x^2 - 3x - 2$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \leq -0.5$ и при $x \geq 2$. Таким образом, решение неравенства $2x^2 - 3x - 2 \geq 0$ есть $x \in (-\infty; -0.5] \cup [2; \infty)$.

Теперь учтём ОДЗ ($x \neq \pm 1$). Точка $x=-1$ попадает в промежуток $(-\infty; -0.5]$, поэтому её нужно исключить. Точка $x=1$ не входит в найденное решение.

Итоговое решение:

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -0.5] \cup [2; \infty)$.