Номер 4, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\arcsin x$, $g(x)=\arcsin 2x$, $h(x)=2\arcsin(2x^2)$,

$u(x)=\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)$;

б) $f(x)=0,1\arctan x$, $g(x)=0,3\arctan \left(27x+\frac{\pi}{9}\right)$, $h(x)=\frac{1}{6}\arctan(2x^3)$,

$u(x)=\frac{1}{5}\arctan(x^3-1)$.

а)

Для функции $f(x)=\arcsin x$ производная является табличной:
$f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arcsin(2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, где $u=2x$.
$g'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Для функции $h(x)=2\arcsin(2x^2)$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для сложной функции. Пусть $u = 2x^2$, тогда $u' = 4x$.
$h'(x) = (2\arcsin(2x^2))' = 2 \cdot (\arcsin(2x^2))' = 2 \cdot \frac{(2x^2)'}{\sqrt{1-(2x^2)^2}} = 2 \cdot \frac{4x}{\sqrt{1-4x^4}} = \frac{8x}{\sqrt{1-4x^4}}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{8x}{\sqrt{1-4x^4}}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)$ используем те же правила. Пусть $v = x^2+1$, тогда $v' = 2x$.
$u'(x) = \left(\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)'}{\sqrt{1-(x^2+1)^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{1-(x^4+2x^2+1)}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^4-2x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{-x^4-2x^2}}$.
(Примечание: область определения исходной функции состоит из единственной точки $x=0$, так как должно выполняться условие $-1 \le x^2+1 \le 1$, что эквивалентно $x^2 \le 0$. Производная в этой точке не определена. Приведено формальное выражение для производной).
Ответ: $u'(x) = \frac{x}{\sqrt{-x^4-2x^2}}$.

б)

Для функции $f(x)=0,1\operatorname{arctg}x$ используем правило для производной произведения константы на функцию и табличную производную арктангенса $(\operatorname{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
$f'(x) = (0,1\operatorname{arctg}x)' = 0,1 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{0,1}{1+x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{0,1}{1+x^2}$.

Для функции $g(x)=0,3\operatorname{arctg}\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1+u^2}$. Пусть $u = 27x+\frac{\pi}{9}$, тогда $u' = 27$.
$g'(x) = \left(0,3\operatorname{arctg}\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)\right)' = 0,3 \cdot \frac{\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)'}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2} = 0,3 \cdot \frac{27}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2} = \frac{8,1}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{8,1}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{6}\operatorname{arctg}(2x^3)$ используем правило для сложной функции. Пусть $u = 2x^3$, тогда $u' = 6x^2$.
$h'(x) = \left(\frac{1}{6}\operatorname{arctg}(2x^3)\right)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{(2x^3)'}{1+(2x^3)^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6x^2}{1+4x^6} = \frac{x^2}{1+4x^6}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{x^2}{1+4x^6}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{5}\operatorname{arctg}(x^5-1)$ используем правило для сложной функции. Пусть $v = x^5-1$, тогда $v' = 5x^4$.
$u'(x) = \left(\frac{1}{5}\operatorname{arctg}(x^5-1)\right)' = \frac{1}{5} \cdot \frac{(x^5-1)'}{1+(x^5-1)^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5x^4}{1+(x^{10}-2x^5+1)} = \frac{x^4}{x^{10}-2x^5+2}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{x^4}{x^{10}-2x^5+2}$.