Номер 1, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=x^3$, $u(x)=x^4$, $v(x)=x^{2014}$;

б) $f(x)=1$, $g(x)=\frac{1}{2x^2}$, $h(x)=\frac{1}{3x^3}$, $u(x)=-\frac{1}{4x^4}$, $v(x)=-\frac{1}{2^{15}(x^2)^{12}}$.

а)

Для нахождения производных данных функций воспользуемся общей формулой производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Для функции $f(x) = x$. Здесь показатель степени $n=1$.
$f'(x) = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

Для функции $g(x) = x^2$. Здесь $n=2$.
$g'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Для функции $h(x) = x^3$. Здесь $n=3$.
$h'(x) = (x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Для функции $u(x) = x^4$. Здесь $n=4$.
$u'(x) = (x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.

Для функции $v(x) = x^{2014}$. Здесь $n=2014$.
$v'(x) = (x^{2014})' = 2014 \cdot x^{2014-1} = 2014x^{2013}$.

Ответ: $f'(x) = 1$; $g'(x) = 2x$; $h'(x) = 3x^2$; $u'(x) = 4x^3$; $v'(x) = 2014x^{2013}$.

б)

Для нахождения производных будем использовать правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$, формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (в том числе для отрицательных показателей степени) и правило, что производная константы равна нулю, $(C)'=0$. Для удобства представим функции в виде $C \cdot x^n$.

Для функции $f(x) = 1$.
Это константа, поэтому ее производная равна нулю.
$f'(x) = (1)' = 0$.

Для функции $g(x) = \frac{1}{2x^2}$.
Представим функцию в виде $g(x) = \frac{1}{2} x^{-2}$.
$g'(x) = (\frac{1}{2} x^{-2})' = \frac{1}{2} \cdot (x^{-2})' = \frac{1}{2} \cdot (-2)x^{-2-1} = -1 \cdot x^{-3} = -\frac{1}{x^3}$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{3x^3}$.
Представим функцию в виде $h(x) = \frac{1}{3} x^{-3}$.
$h'(x) = (\frac{1}{3} x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{4x^4}$.
Представим функцию в виде $u(x) = -\frac{1}{4} x^{-4}$.
$u'(x) = (-\frac{1}{4} x^{-4})' = -\frac{1}{4} \cdot (x^{-4})' = -\frac{1}{4} \cdot (-4)x^{-4-1} = 1 \cdot x^{-5} = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

Для функции $v(x) = -\frac{1}{2^{15}(x^2)^{12}}$.
Сначала упростим выражение для функции, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^2)^{12} = x^{2 \cdot 12} = x^{24}$.
Тогда $v(x) = -\frac{1}{2^{15}x^{24}}$. Представим функцию в виде $v(x) = -\frac{1}{2^{15}} x^{-24}$.
Теперь найдем производную:
$v'(x) = (-\frac{1}{2^{15}} x^{-24})' = -\frac{1}{2^{15}} \cdot (x^{-24})' = -\frac{1}{2^{15}} \cdot (-24)x^{-24-1} = \frac{24}{2^{15}} x^{-25}$.
Упростим числовой коэффициент: $\frac{24}{2^{15}} = \frac{3 \cdot 8}{2^{15}} = \frac{3 \cdot 2^3}{2^{15}} = 3 \cdot 2^{3-15} = 3 \cdot 2^{-12} = \frac{3}{2^{12}} = \frac{3}{4096}$.
Таким образом, $v'(x) = \frac{3}{4096}x^{-25} = \frac{3}{4096x^{25}}$.

Ответ: $f'(x) = 0$; $g'(x) = -\frac{1}{x^3}$; $h'(x) = -\frac{1}{x^4}$; $u'(x) = \frac{1}{x^5}$; $v'(x) = \frac{3}{4096x^{25}}$.