Номер 3, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Найдите производные следующих функций:

а) $f(x)=\sin x$, $g(x)=\sin 2x$, $h(x)=\frac{1}{6}\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{5}-4\pi x\right)$;

б) $f(x)=-\cos x$, $g(x)=\cos 3x$, $h(x)=\frac{1}{4}\cos\left(8x-\frac{\pi}{7}\right)$, $u(x)=-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{3\pi x}{2}\right)$;

в) $f(x)=2\operatorname{tg}x$, $g(x)=\operatorname{tg}\frac{5x}{2}$, $h(x)=\frac{3}{7}\operatorname{tg}\left(\frac{14x}{3}-\frac{\pi}{9}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{3}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{5}-9x\right)$;

г) $f(x)=-3\operatorname{ctg}x$, $g(x)=7\operatorname{ctg}\frac{8x}{7}$, $h(x)=-\frac{4}{9}\operatorname{ctg}\left(\frac{27x}{2}-\frac{\pi}{21}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{11\pi}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{11}-22\pi x\right)$.

а)

Для функции $f(x) = \sin x$ производная является табличной.
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Ответ: $f'(x) = \cos x$.

Для функции $g(x) = \sin 2x$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$g'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.
Ответ: $g'(x) = 2\cos 2x$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{6}\sin(3x - \frac{\pi}{3})$ применяем правило дифференцирования сложной функции и вынесение константы за знак производной.
$h'(x) = \frac{1}{6}(\sin(3x - \frac{\pi}{3}))' = \frac{1}{6} \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot (3x - \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{6} \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot 3 = \frac{3}{6}\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $h'(x) = \frac{1}{2}\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$ применяем те же правила.
$u'(x) = -\frac{1}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{5} - 4\pi x))' = -\frac{1}{\pi}\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x) \cdot (\frac{\pi}{5} - 4\pi x)' = -\frac{1}{\pi}\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x) \cdot (-4\pi) = 4\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$.
Ответ: $u'(x) = 4\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$.

б)

Для функции $f(x) = -\cos x$ производная равна:
$f'(x) = -(\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Ответ: $f'(x) = \sin x$.

Для функции $g(x) = \cos 3x$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$g'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.
Ответ: $g'(x) = -3\sin 3x$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{4}\cos(8x - \frac{\pi}{7})$:
$h'(x) = \frac{1}{4}(\cos(8x - \frac{\pi}{7}))' = \frac{1}{4}(-\sin(8x - \frac{\pi}{7})) \cdot (8x - \frac{\pi}{7})' = -\frac{1}{4}\sin(8x - \frac{\pi}{7}) \cdot 8 = -2\sin(8x - \frac{\pi}{7})$.
Ответ: $h'(x) = -2\sin(8x - \frac{\pi}{7})$.

Для функции $u(x) = \frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$:
$u'(x) = \frac{2}{\pi}(\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2}))' = \frac{2}{\pi}(-\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})) \cdot (\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})' = -\frac{2}{\pi}\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2}) \cdot (-\frac{3\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$.
Ответ: $u'(x) = 3\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$.

в)

Для функции $f(x) = 2\tan x$, используя табличную производную $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:
$f'(x) = 2(\tan x)' = \frac{2}{\cos^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x}$.

Для функции $g(x) = \tan \frac{5x}{2}$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = (\tan \frac{5x}{2})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{5x}{2})} \cdot (\frac{5x}{2})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{5x}{2})} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2\cos^2(\frac{5x}{2})}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{5}{2\cos^2(\frac{5x}{2})}$.

Для функции $h(x) = \frac{3}{7}\tan(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})$:
$h'(x) = \frac{3}{7}(\tan(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9}))' = \frac{3}{7}\frac{1}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})} \cdot (\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})' = \frac{3}{7}\frac{1}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})} \cdot \frac{14}{3} = \frac{2}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{2}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\pi}{5} - 9x)$:
$u'(x) = -\frac{1}{3}(\tan(\frac{\pi}{5} - 9x))' = -\frac{1}{3}\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)} \cdot (\frac{\pi}{5} - 9x)' = -\frac{1}{3}\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)} \cdot (-9) = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)}$.

г)

Для функции $f(x) = -3\cot x$, используя табличную производную $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:
$f'(x) = -3(\cot x)' = -3(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2 x}$.

Для функции $g(x) = 7\cot \frac{8x}{7}$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = 7(\cot \frac{8x}{7})' = 7(-\frac{1}{\sin^2(\frac{8x}{7})}) \cdot (\frac{8x}{7})' = -7\frac{1}{\sin^2(\frac{8x}{7})} \cdot \frac{8}{7} = -\frac{8}{\sin^2(\frac{8x}{7})}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{8}{\sin^2(\frac{8x}{7})}$.

Для функции $h(x) = \frac{4}{9}\cot(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})$:
$h'(x) = \frac{4}{9}(\cot(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21}))' = \frac{4}{9}(-\frac{1}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}) \cdot (\frac{27x}{2})' = -\frac{4}{9}\frac{1}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})} \cdot \frac{27}{2} = -\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 2 \cdot \sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})} = -\frac{6}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{6}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{11\pi}\cot(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)$:
$u'(x) = -\frac{1}{11\pi}(\cot(\frac{\pi}{11} - 22\pi x))' = -\frac{1}{11\pi}(-\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}) \cdot (\frac{\pi}{11} - 22\pi x)' = \frac{1}{11\pi}\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)} \cdot (-22\pi) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}$.