Номер 6, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Найдите значения переменной $x$, при которых производная функции $f(x)$ равна $a$.

а) $f(x)=-\cos x, a=1;$

б) $f(x)=\frac{1}{2}\sin 4x+8, a=\sqrt{3};$

в) $f(x)=7\cos 2x-5x, a=2;$

г) $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{7}\operatorname{tg} 14x+8x, a=10.$

а)

Дана функция $f(x) = -\cos x$ и значение производной $a=1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$\sin x = 1$.

3. Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin 4x + 8$ и значение производной $a=\sqrt{3}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin 4x + 8)' = \frac{1}{2}(\sin 4x)' + (8)' = \frac{1}{2}\cos(4x) \cdot (4x)' + 0 = \frac{1}{2} \cdot 4\cos(4x) = 2\cos(4x)$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$2\cos(4x) = \sqrt{3}$.

3. Решим полученное уравнение:

$\cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$4x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$4x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

в)

Дана функция $f(x) = 7\cos 2x - 5x$ и значение производной $a=2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (7\cos 2x - 5x)' = 7(\cos 2x)' - (5x)' = 7(-\sin(2x) \cdot (2x)') - 5 = 7(-\sin(2x) \cdot 2) - 5 = -14\sin(2x) - 5$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$-14\sin(2x) - 5 = 2$.

3. Решим полученное уравнение:

$-14\sin(2x) = 2 + 5$

$-14\sin(2x) = 7$

$\sin(2x) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$2x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

$2x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Разделим обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{7}\mathrm{tg}14x + 8x$ и значение производной $a=10$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{7}\mathrm{tg}14x + 8x)' = \frac{\sqrt{3}}{7}(\mathrm{tg}14x)' + (8x)' = \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{1}{\cos^2(14x)} \cdot (14x)' + 8 = \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{14}{\cos^2(14x)} + 8 = \frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} + 8$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} + 8 = 10$.

3. Решим полученное уравнение:

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 10 - 8$

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 2$

$\frac{\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 1$

$\cos^2(14x) = \sqrt{3}$.

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, а область значений функции $y=\cos^2(\alpha)$ есть отрезок $[0, 1]$, то $\cos^2(14x)$ не может быть равен $\sqrt{3}$.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.