Номер 5, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Найдите производные следующих функций: $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=\sqrt{3-4x}$, $h(x)=\sqrt{5-4x^2}$, $u(x)=\sqrt{2+\cos x}$.

f(x) = $\sqrt{x}$
Для нахождения производной этой функции, представим квадратный корень в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.
Теперь применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае $n = \frac{1}{2}$.
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

g(x) = $\sqrt{3-4x}$
Данная функция является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(v(x)))' = f'(v) \cdot v'(x)$.
Здесь внешняя функция — это квадратный корень $f(v) = \sqrt{v}$, а внутренняя — подкоренное выражение $v(x) = 3 - 4x$.
Найдём производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(v) = (\sqrt{v})' = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (3 - 4x)' = (3)' - (4x)' = 0 - 4 = -4$.
Теперь подставим найденные производные в формулу, заменив $v$ на $3-4x$:
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3-4x}} \cdot (-4)$.
Упростим полученное выражение:
$g'(x) = \frac{-4}{2\sqrt{3-4x}} = -\frac{2}{\sqrt{3-4x}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2}{\sqrt{3-4x}}$

h(x) = $\sqrt{5-4x^2}$
Эта функция также является сложной. Применим цепное правило.
Внешняя функция: $f(v) = \sqrt{v}$, её производная $f'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Внутренняя функция: $v(x) = 5 - 4x^2$, её производная $v'(x) = (5 - 4x^2)' = (5)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x$.
Подставляем в формулу для производной сложной функции:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5-4x^2}} \cdot (-8x)$.
Сократим дробь:
$h'(x) = \frac{-8x}{2\sqrt{5-4x^2}} = -\frac{4x}{\sqrt{5-4x^2}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{4x}{\sqrt{5-4x^2}}$

u(x) = $\sqrt{2+\cos x}$
И снова используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция: $f(v) = \sqrt{v}$, её производная $f'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Внутренняя функция: $v(x) = 2 + \cos x$. Её производная, учитывая что $(\cos x)' = -\sin x$: $v'(x) = (2 + \cos x)' = (2)' + (\cos x)' = 0 - \sin x = -\sin x$.
Подставляем в общую формулу:
$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+\cos x}} \cdot (-\sin x)$.
Запишем результат в более аккуратном виде:
$u'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}$