Номер 7, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. При каких значениях переменной $t$ выполняются одновременно два условия: $f''(t) \ge 0$ и $f(t) < 0$, если $f(t) = -t^2 + 2t + 3$?

Для того чтобы найти значения переменной $t$, при которых одновременно выполняются указанные условия, необходимо решить систему неравенств. Дана функция $f(t) = -t^2 + 2t + 3$. Система выглядит следующим образом:

$\begin{cases} f'(t) \ge 0 \\ f(t) < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

f'(t)≥0

Сначала найдем производную функции $f(t)$ по переменной $t$:

$f'(t) = (-t^2 + 2t + 3)' = -2t^{2-1} + 2t^{1-1} + 0 = -2t + 2$.

Далее решим неравенство $f'(t) \ge 0$:

$-2t + 2 \ge 0$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2t \ge -2$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$t \le 1$.

Решением первого неравенства является интервал $t \in (-\infty, 1]$.

f(t)<0

Теперь решим второе неравенство $f(t) < 0$:

$-t^2 + 2t + 3 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-t^2 + 2t + 3 = 0$. Для удобства умножим обе части на -1:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Функция $f(t) = -t^2 + 2t + 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции будут отрицательными ($f(t) < 0$) вне интервала между корнями.

Решением второго неравенства является объединение интервалов $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение множеств решений, найденных для каждого неравенства: $t \in (-\infty, 1]$ и $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Пересечение этих множеств, $t \in (-\infty, 1] \cap \left( (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \right)$, и есть искомое решение. Общим для обоих условий является интервал $(-\infty, -1)$.

Ответ: $t \in (-\infty, -1)$.