Номер 13, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. Дана функция $f(x)=\frac{1}{120}x^5 - 8x^4 + \frac{1}{16}x^3 - 8x^2 + \sqrt{7}$. Найдите производную пятого порядка от функции $f(x)$.

Для нахождения производной пятого порядка от функции $f(x) = \frac{1}{120}x^5 - 8x^4 + \frac{1}{16}x^3 - 8x^2 + \sqrt{7}$ необходимо последовательно найти производные с первого по пятый порядок.

Будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(C \cdot x^n)' = C \cdot n \cdot x^{n-1}$ и тот факт, что производная суммы функций равна сумме их производных.

1. Находим первую производную $f'(x)$:
$f'(x) = (\frac{1}{120}x^5)' - (8x^4)' + (\frac{1}{16}x^3)' - (8x^2)' + (\sqrt{7})'$
$f'(x) = \frac{1}{120} \cdot 5x^4 - 8 \cdot 4x^3 + \frac{1}{16} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = \frac{5}{120}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x$
Упрощая дробь $\frac{5}{120}$, получаем $\frac{1}{24}$.
$f'(x) = \frac{1}{24}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x$

2. Находим вторую производную $f''(x)$:
$f''(x) = (f'(x))' = (\frac{1}{24}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x)'$
$f''(x) = \frac{1}{24} \cdot 4x^3 - 32 \cdot 3x^2 + \frac{3}{16} \cdot 2x - 16 = \frac{4}{24}x^3 - 96x^2 + \frac{6}{16}x - 16$
Упрощая дроби, получаем $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ и $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$f''(x) = \frac{1}{6}x^3 - 96x^2 + \frac{3}{8}x - 16$

3. Находим третью производную $f'''(x)$:
$f'''(x) = (f''(x))' = (\frac{1}{6}x^3 - 96x^2 + \frac{3}{8}x - 16)'$
$f'''(x) = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 96 \cdot 2x + \frac{3}{8} = \frac{3}{6}x^2 - 192x + \frac{3}{8}$
Упрощая дробь $\frac{3}{6}$, получаем $\frac{1}{2}$.
$f'''(x) = \frac{1}{2}x^2 - 192x + \frac{3}{8}$

4. Находим четвертую производную $f^{(4)}(x)$:
$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (\frac{1}{2}x^2 - 192x + \frac{3}{8})'$
$f^{(4)}(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x - 192 = x - 192$

5. Находим пятую производную $f^{(5)}(x)$:
$f^{(5)}(x) = (f^{(4)}(x))' = (x - 192)'$
$f^{(5)}(x) = 1 - 0 = 1$

Альтернативное решение:
Производная $n$-го порядка от многочлена степени $m$ равна нулю, если $n > m$. Пятая производная от слагаемых $-8x^4$, $\frac{1}{16}x^3$, $-8x^2$ и $\sqrt{7}$ будет равна нулю, так как их степень меньше 5.
Следовательно, нам нужно найти только пятую производную от слагаемого $\frac{1}{120}x^5$.
Известно, что $(x^n)^{(n)} = n!$.
Тогда $f^{(5)}(x) = (\frac{1}{120}x^5)^{(5)} = \frac{1}{120} \cdot (x^5)^{(5)} = \frac{1}{120} \cdot 5!$
Так как $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$, получаем:
$f^{(5)}(x) = \frac{1}{120} \cdot 120 = 1$.

Ответ: $1$