Номер 15, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

15. Найдите значения производной функции $f(x)$ в точке $x = x_0$, если:

a) $f(x) = x \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $f(x) = x^2 \cos 2x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = (4\pi x - \pi) \operatorname{tg}(3\pi x), x_0 = \frac{1}{12}$;

г) $f(x) = x \arccos 2x, x_0 = 0$.

а) $f(x) = x \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f'(x)$. Данная функция является суммой двух слагаемых, первое из которых — произведение. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u'+v'$ и правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$f'(x) = (x \sin x + \cos x)' = (x \sin x)' + (\cos x)'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

Теперь сложим производные:

$f'(x) = (\sin x + x \cos x) - \sin x = x \cos x$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) $f(x) = x^2 \cos 2x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Для нахождения производной функции, представляющей собой произведение $u(x)=x^2$ и $v(x)=\cos(2x)$, используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило для дифференцирования сложной функции $v(x)$.

$f'(x) = (x^2 \cos 2x)' = (x^2)' \cos 2x + x^2 (\cos 2x)'$

Найдем производные составляющих:

$(x^2)' = 2x$

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$

Подставим их в формулу производной произведения:

$f'(x) = 2x \cos 2x + x^2 (-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x$

Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ в найденную производную:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = 2(-\frac{\pi}{4}) \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) - 2(-\frac{\pi}{4})^2 \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4}))$

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \cos(-\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi^2}{16}) \sin(-\frac{\pi}{2})$

Так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - \frac{\pi^2}{8} \cdot (-1) = \frac{\pi^2}{8}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{8}$

в) $f(x) = (4\pi x - \pi) \tan(3\pi x), x_0 = \frac{1}{12}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило. Пусть $u(x) = 4\pi x - \pi$ и $v(x) = \tan(3\pi x)$.

$f'(x) = (4\pi x - \pi)' \tan(3\pi x) + (4\pi x - \pi) (\tan(3\pi x))'$

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$(4\pi x - \pi)' = 4\pi$

$(\tan(3\pi x))' = \frac{1}{\cos^2(3\pi x)} \cdot (3\pi x)' = \frac{3\pi}{\cos^2(3\pi x)}$

Собираем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 4\pi \tan(3\pi x) + (4\pi x - \pi) \frac{3\pi}{\cos^2(3\pi x)}$

Подставим $x_0 = \frac{1}{12}$ в выражение для производной. Сначала вычислим значения аргументов и множителей при $x_0 = \frac{1}{12}$:

$3\pi x_0 = 3\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{4}$

$4\pi x_0 - \pi = 4\pi \cdot \frac{1}{12} - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$

Теперь вычисляем значение производной:

$f'(\frac{1}{12}) = 4\pi \cdot \tan(\frac{\pi}{4}) + (-\frac{2\pi}{3}) \cdot \frac{3\pi}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = 4\pi \cdot 1 - \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3\pi}{1/2} = 4\pi - \frac{2\pi}{3} \cdot 6\pi = 4\pi - 4\pi^2$

Ответ: $4\pi - 4\pi^2$

г) $f(x) = x \arccos 2x, x_0 = 0$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$ и цепное правило. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \arccos(2x)$.

$f'(x) = (x)' \arccos 2x + x (\arccos 2x)'$

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$(x)' = 1$

$(\arccos 2x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

Собираем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 1 \cdot \arccos 2x + x \left(-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\right) = \arccos 2x - \frac{2x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

Подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \arccos(2 \cdot 0) - \frac{2 \cdot 0}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0^2}} = \arccos(0) - \frac{0}{\sqrt{1}} = \arccos(0) - 0$

Известно, что $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

$f'(0) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$