Номер 21, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

21. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=3\arccos x$, $g(x)=\arccos\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$, $h(x)=\frac{1}{3}\arccos x^3$,

$u(x)=-\frac{1}{4}\arccos(2x^2-1)$;

б) $f(x)=0,2\text{arcctg}5x$, $g(x)=0,6\text{arcctg}\left(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}\right)$, $h(x)=\frac{1}{12}\text{arctg}3x^4$,

$u(x)=-\frac{1}{7}\text{arcctg}(14x^2-1)$.

а)

Для функции $f(x)=3\arccos x$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot v(x))' = c \cdot v'(x)$ и производную арккосинуса $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(x) = (3\arccos x)' = 3 \cdot (\arccos x)' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arccos(2x+\frac{\pi}{5})$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\arccos(v(x)))' = -\frac{v'(x)}{\sqrt{1-v(x)^2}}$. В данном случае $v(x) = 2x+\frac{\pi}{5}$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x+\frac{\pi}{5})' = 2$.
$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}} \cdot (2x+\frac{\pi}{5})' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x+\frac{\pi}{5})^2}}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{3}\arccos x^3$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = x^3$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
$h'(x) = \frac{1}{3} \cdot (\arccos x^3)' = \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}}\right) \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^6}}\right) \cdot 3x^2 = -\frac{3x^2}{3\sqrt{1-x^6}} = -\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{4}\arccos(2x^2-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 2x^2-1$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x^2-1)' = 4x$.
$u'(x) = \frac{1}{4} \cdot (\arccos(2x^2-1))' = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}\right) \cdot (2x^2-1)' = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(4x^4-4x^2+1)}}\right) \cdot 4x$.
$u'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-4x^4+4x^2-1}} = -\frac{x}{\sqrt{4x^2-4x^4}} = -\frac{x}{\sqrt{4x^2(1-x^2)}} = -\frac{x}{2|x|\sqrt{1-x^2}}$.
Это выражение можно записать в виде: $u'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} & \text{при } x > 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} & \text{при } x < 0 \end{cases}$
Ответ: $u'(x) = -\frac{x}{2|x|\sqrt{1-x^2}}$.

б)

Для функции $f(x)=0,2\operatorname{arcctg}5x = \frac{1}{5}\operatorname{arcctg}5x$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\operatorname{arcctg}(v(x)))' = -\frac{v'(x)}{1+v(x)^2}$. В данном случае $v(x) = 5x$.
$v'(x) = (5x)' = 5$.
$f'(x) = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{1+(5x)^2}\right) \cdot 5 = -\frac{5}{5(1+25x^2)} = -\frac{1}{1+25x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{1+25x^2}$.

Для функции $g(x)=0,6\operatorname{arcctg}(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}) = \frac{3}{5}\operatorname{arcctg}(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = \frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7}$.
$v'(x) = (\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})' = \frac{5}{3}$.
$g'(x) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}\right) \cdot \frac{5}{3} = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3 \cdot (1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2)} = -\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{1}{1+(\frac{5}{3}x+\frac{\pi}{7})^2}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{12}\operatorname{arcctg}3x^4$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 3x^4$.
$v'(x) = (3x^4)' = 12x^3$.
$h'(x) = \frac{1}{12} \cdot \left(-\frac{1}{1+(3x^4)^2}\right) \cdot (3x^4)' = \frac{1}{12} \left(-\frac{1}{1+9x^8}\right) \cdot 12x^3 = -\frac{12x^3}{12(1+9x^8)} = -\frac{x^3}{1+9x^8}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{x^3}{1+9x^8}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{7}\operatorname{arcctg}(14x^2-1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае $v(x) = 14x^2-1$.
$v'(x) = (14x^2-1)' = 28x$.
$u'(x) = \frac{1}{7} \cdot \left(-\frac{1}{1+(14x^2-1)^2}\right) \cdot (14x^2-1)' = \frac{1}{7} \left(-\frac{1}{1+(14x^2-1)^2}\right) \cdot 28x = -\frac{28x}{7(1+(14x^2-1)^2)} = -\frac{4x}{1+(14x^2-1)^2}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{4x}{1+(14x^2-1)^2}$.