Номер 19, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

19. Найдите производные следующих функций: $f(x)=1-3x$, $g(x)=2-3x^2$, $h(x)=3\left(1-\frac{x}{3}\right)^5$, $u(x)=\frac{1}{15}\left(2-3x^2\right)^5$.

f(x) = 1 - 3x
Для нахождения производной используем основные правила дифференцирования. Производная разности функций равна разности их производных.
$f'(x) = (1 - 3x)' = (1)' - (3x)'$
Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной, а производная $x$ равна 1: $(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
Таким образом, получаем:
$f'(x) = 0 - 3 = -3$
Ответ: $f'(x) = -3$.

g(x) = 2 - 3x²
Применяем правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$g'(x) = (2 - 3x^2)' = (2)' - (3x^2)'$
Производная константы $(2)' = 0$.
Производная для второго слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Следовательно:
$g'(x) = 0 - 6x = -6x$
Ответ: $g'(x) = -6x$.

h(x) = 3(1 - x/3)⁵
Для нахождения производной этой сложной функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Вынесем константу 3 за знак производной:
$h'(x) = 3 \cdot \left(\left(1 - \frac{x}{3}\right)^5\right)'$
Здесь внешняя функция — это степенная функция $y(u) = u^5$, а внутренняя — $u(x) = 1 - \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $y'(u) = 5u^4$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (1 - \frac{x}{3})' = (1)' - (\frac{1}{3}x)' = 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.
Применяем цепное правило:
$h'(x) = 3 \cdot \left[5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right]$
Упростим полученное выражение:
$h'(x) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 = -1 \cdot 5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 = -5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4$
Ответ: $h'(x) = -5(1 - \frac{x}{3})^4$.

u(x) = 1/15(2 - 3x²)⁵
Эта функция также является сложной, поэтому мы снова применим цепное правило.
$u'(x) = \left(\frac{1}{15}(2 - 3x^2)^5\right)'$
Вынесем константу $\frac{1}{15}$:
$u'(x) = \frac{1}{15} \cdot ((2 - 3x^2)^5)'$
Внешняя функция: $y(v) = v^5$, ее производная $y'(v) = 5v^4$.
Внутренняя функция: $v(x) = 2 - 3x^2$, ее производная $v'(x) = (2)' - (3x^2)' = 0 - 6x = -6x$.
Подставляем в цепное правило:
$u'(x) = \frac{1}{15} \cdot [5(2 - 3x^2)^4 \cdot (-6x)]$
Упростим выражение, перемножив константы и переменные:
$u'(x) = \frac{5 \cdot (-6)}{15} \cdot x(2 - 3x^2)^4 = \frac{-30}{15} x(2 - 3x^2)^4 = -2x(2 - 3x^2)^4$
Ответ: $u'(x) = -2x(2 - 3x^2)^4$.