Номер 12, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. Дана функция $f(x)=\sin 2x-\cos x+3x$. Найдите производную функции, вторую производную, производную третьего порядка, производную четвертого порядка.

Дана функция $f(x) = \sin 2x - \cos x + 3x$. Для нахождения производных высших порядков будем последовательно дифференцировать функцию, используя правила дифференцирования суммы функций, производной сложной функции и табличные производные.

Основные правила и формулы, которые мы будем использовать:

1. Правило дифференцирования суммы: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

2. Производная сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

3. Табличные производные: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(kx)' = k$, $(C)' = 0$, где $C$ - константа.

Найдите производную функции

Первая производная $f'(x)$ находится путем дифференцирования каждого слагаемого исходной функции:

$f'(x) = (\sin 2x - \cos x + 3x)' = (\sin 2x)' - (\cos x)' + (3x)'$

Применяем правило для сложной функции к $(\sin 2x)'$: $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

Применяем табличные производные: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(3x)' = 3$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 2\cos 2x - (-\sin x) + 3 = 2\cos 2x + \sin x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2\cos 2x + \sin x + 3$

Найдите вторую производную

Вторая производная $f''(x)$ является производной от первой производной $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = (2\cos 2x + \sin x + 3)' = (2\cos 2x)' + (\sin x)' + (3)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(2\cos 2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4\sin 2x$

$(\sin x)' = \cos x$

$(3)' = 0$

Складываем полученные выражения:

$f''(x) = -4\sin 2x + \cos x$

Ответ: $f''(x) = -4\sin 2x + \cos x$

Найдите производную третьего порядка

Третья производная $f'''(x)$ является производной от второй производной $f''(x)$.

$f'''(x) = (f''(x))' = (-4\sin 2x + \cos x)' = (-4\sin 2x)' + (\cos x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(-4\sin 2x)' = -4 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' = -4 \cdot (\cos 2x) \cdot 2 = -8\cos 2x$

$(\cos x)' = -\sin x$

Складываем полученные выражения:

$f'''(x) = -8\cos 2x - \sin x$

Ответ: $f'''(x) = -8\cos 2x - \sin x$

Найдите производную четвертого порядка

Четвертая производная $f^{(4)}(x)$ является производной от третьей производной $f'''(x)$.

$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (-8\cos 2x - \sin x)' = (-8\cos 2x)' - (\sin x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(-8\cos 2x)' = -8 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -8 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = 16\sin 2x$

$(\sin x)' = \cos x$

Складываем полученные выражения:

$f^{(4)}(x) = 16\sin 2x - \cos x$

Ответ: $f^{(4)}(x) = 16\sin 2x - \cos x$