Номер 9, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, $x_0=1$;

б) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$, $x_0=0$;

в) $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$, $x_0=-3$;

г) $f(x)=\frac{5x+2}{7x+13}$, $x_0=-2$.

а) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0 = 1$.
Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u(x) = x-1$ и $v(x) = x+1$.
Находим производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (x-1)' = 1$, $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$ в точке $x_0 = 0$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^2-1$.
Находим производные: $u'(x) = (x^2)' = 2x$, $v'(x) = (x^2-1)' = 2x$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-1) - (x^2)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{2x(x^2-1) - x^2(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-2 \cdot 0}{(0^2-1)^2} = \frac{0}{(-1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.

в) Для функции $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$ в точке $x_0 = -3$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = 3x-1$ и $v(x) = x+4$.
Находим производные: $u'(x) = (3x-1)' = 3$, $v'(x) = (x+4)' = 1$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(3x-1)'(x+4) - (3x-1)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{3(x+4) - (3x-1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3x+12 - 3x+1}{(x+4)^2} = \frac{13}{(x+4)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -3$:
$f'(-3) = \frac{13}{(-3+4)^2} = \frac{13}{1^2} = 13$.
Ответ: $13$.

г) Для функции $f(x) = \frac{5x+2}{7x+13}$ в точке $x_0 = -2$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = 5x+2$ и $v(x) = 7x+13$.
Находим производные: $u'(x) = (5x+2)' = 5$, $v'(x) = (7x+13)' = 7$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(5x+2)'(7x+13) - (5x+2)(7x+13)'}{(7x+13)^2} = \frac{5(7x+13) - (5x+2) \cdot 7}{(7x+13)^2} = \frac{35x+65 - (35x+14)}{(7x+13)^2} = \frac{35x+65 - 35x-14}{(7x+13)^2} = \frac{51}{(7x+13)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{51}{(7(-2)+13)^2} = \frac{51}{(-14+13)^2} = \frac{51}{(-1)^2} = \frac{51}{1} = 51$.
Ответ: $51$.