Номер 14, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\sin^4 x$, $g(x)=\sin x^4$, $h(x)=\sin^3 x^4$, $u(x)=\sin(4x)^3$;

б) $f(x)=\arccos^2 x$, $g(x)=\arccos^2(2x-1)$, $h(x)=\arccos(2x+1)^3$,

$u(x)=\arccos^3(4x+5)^2$.

а)

Для функции $f(x)=\sin^4 x$.
Это сложная функция вида $y = u^4$, где $u = \sin x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (\sin^4 x)' = 4 \sin^{4-1} x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cdot \cos x$.
Ответ: $f'(x) = 4\sin^3 x \cos x$.

Для функции $g(x)=\sin x^4$.
Это сложная функция вида $y = \sin u$, где $u = x^4$. Применяем цепное правило: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$g'(x) = (\sin x^4)' = \cos(x^4) \cdot (x^4)' = \cos(x^4) \cdot 4x^3 = 4x^3 \cos(x^4)$.
Ответ: $g'(x) = 4x^3 \cos(x^4)$.

Для функции $h(x)=\sin^3 x^4$.
Это сложная функция, представимая как $y = u^3$, где $u = \sin v$, а $v = x^4$. Применяем цепное правило последовательно.
$h'(x) = ((\sin x^4)^3)' = 3(\sin x^4)^2 \cdot (\sin x^4)'$.
Производная от $\sin x^4$ равна $\cos(x^4) \cdot (x^4)' = 4x^3\cos(x^4)$.
Подставляем: $h'(x) = 3\sin^2(x^4) \cdot 4x^3\cos(x^4) = 12x^3\sin^2(x^4)\cos(x^4)$.
Ответ: $h'(x) = 12x^3\sin^2(x^4)\cos(x^4)$.

Для функции $u(x)=\sin(4x)^3$.
Упростим аргумент: $(4x)^3 = 64x^3$. Функция принимает вид $u(x)=\sin(64x^3)$.
Это сложная функция вида $y = \sin v$, где $v = 64x^3$.
$u'(x) = \cos(64x^3) \cdot (64x^3)' = \cos(64x^3) \cdot 64 \cdot 3x^2 = 192x^2\cos(64x^3)$.
Ответ: $u'(x) = 192x^2\cos((4x)^3)$.

б)

Для функции $f(x)=\arccos^2 x$.
Это сложная функция вида $y = u^2$, где $u = \arccos x$. Используем цепное правило и производную арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.
$f'(x) = (\arccos^2 x)' = 2\arccos x \cdot (\arccos x)' = 2\arccos x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arccos^2(2x-1)$.
Это сложная функция вида $y = u^2$, где $u = \arccos(2x-1)$.
$g'(x) = 2\arccos(2x-1) \cdot (\arccos(2x-1))'$.
Находим производную $(\arccos(2x-1))' = -\frac{(2x-1)'}{\sqrt{1-(2x-1)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1-(4x^2-4x+1)}} = -\frac{2}{\sqrt{4x-4x^2}} = -\frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.
Собираем все вместе: $g'(x) = 2\arccos(2x-1) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\right) = -\frac{2\arccos(2x-1)}{\sqrt{x-x^2}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2\arccos(2x-1)}{\sqrt{x-x^2}}$.

Для функции $h(x)=\arccos(2x+1)^3$.
Это сложная функция вида $y = \arccos u$, где $u = (2x+1)^3$.
$h'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-((2x+1)^3)^2}} \cdot ((2x+1)^3)'$.
Производная $u' = ((2x+1)^3)' = 3(2x+1)^2 \cdot (2x+1)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$.
Подставляем: $h'(x) = -\frac{6(2x+1)^2}{\sqrt{1-(2x+1)^6}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{6(2x+1)^2}{\sqrt{1-(2x+1)^6}}$.

Для функции $u(x)=\arccos^3(4x+5)^2$.
Это сложная функция вида $y = w^3$, где $w = \arccos v$, а $v = (4x+5)^2$.
$u'(x) = 3w^2 \cdot w' = 3\arccos^2((4x+5)^2) \cdot (\arccos((4x+5)^2))'$.
Находим $w' = (\arccos v)' = -\frac{v'}{\sqrt{1-v^2}}$.
Находим $v' = ((4x+5)^2)' = 2(4x+5) \cdot (4x+5)' = 2(4x+5) \cdot 4 = 8(4x+5)$.
$w' = -\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-((4x+5)^2)^2}} = -\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.
Подставляем $w'$ в производную $u'(x)$: $u'(x) = 3\arccos^2((4x+5)^2) \cdot \left(-\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}\right) = -\frac{24(4x+5)\arccos^2((4x+5)^2)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{24(4x+5)\arccos^2((4x+5)^2)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.