Номер 11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. При каких значениях переменной значение функции $g(x)$ равно значению производной функции $f(x)$, если:

а) $f(x) = -\cos x, g(x) = \sin 3x;$

б) $f(x) = -5 \cos x - 5x, g(x) = 6 \cos^2 x;$

в) $f(x) = \sqrt{2x+5}, g(x) = \cos 3x + \sin 3x;$

г) $f(x) = \cos x, g(x) = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$.

а) Даны функции $f(x) = -\cos x$ и $g(x) = \sin 3x$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Теперь приравняем значение производной $f'(x)$ к значению функции $g(x)$, согласно условию задачи:
$f'(x) = g(x)$
$\sin x = \sin 3x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin 3x - \sin x = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 0$
$2\sin x \cos 2x = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = -5\cos x - 5x$ и $g(x) = 6\cos^2 x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-5\cos x - 5x)' = -5(-\sin x) - 5 = 5\sin x - 5$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$5\sin x - 5 = 6\cos^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$5\sin x - 5 = 6(1 - \sin^2 x)$
$5\sin x - 5 = 6 - 6\sin^2 x$
$6\sin^2 x + 5\sin x - 11 = 0$
Сделаем замену переменной $y = \sin x$. Учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$, получаем $|y| \le 1$.
$6y^2 + 5y - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$.
$y_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\sin x = -\frac{11}{6}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$, а $|-\frac{11}{6}| > 1$.
2) $\sin x = 1$. Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Даны функции $f(x) = \sqrt{2}x + 5$ и $g(x) = \cos 3x + \sin 3x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{2}x + 5)' = \sqrt{2}$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$\sqrt{2} = \cos 3x + \sin 3x$
Для решения уравнения вида $a\cos u + b\sin u$ используем метод введения вспомогательного угла. Преобразуем правую часть:
$\cos 3x + \sin 3x = \sqrt{1^2+1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos 3x + \sin\frac{\pi}{4}\sin 3x\right)$.
Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sqrt{2}\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\sqrt{2} = \sqrt{2}\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$
Решением этого уравнения является:
$3x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k$
$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Даны функции $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$-\sin x = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin 2x \ne 0$, что означает $2x \ne \pi n$, и, следовательно, $x \ne \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.
Умножим обе части уравнения на $\sin 2x$ (с учетом ОДЗ):
$-\sin x \sin 2x = \cos 3x$
$\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\cos 3x + \frac{1}{2}(\cos(2x-x) - \cos(2x+x)) = 0$
$\cos 3x + \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$2\cos 3x + \cos x - \cos 3x = 0$
$\cos 3x + \cos x = 0$
Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0$
$2\cos 2x \cos x = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi(1+2k)}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} = \frac{\pi(1+2m)}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \ne \frac{\pi n}{2}$):
1) Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, мы видим, что эти значения имеют вид $\frac{\pi n}{2}$ при $n=1+2k$ (нечетные n). При этих значениях $\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$. Следовательно, эта серия корней является посторонней и не входит в решение.
2) Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, проверим, могут ли эти корни принимать значения вида $\frac{\pi n}{2}$. Предположим, что могут: $\frac{\pi(1+2m)}{4} = \frac{\pi n}{2} \implies 1+2m = 2n \implies 1 = 2n - 2m = 2(n-m)$. Это равенство невозможно, так как слева стоит нечетное число, а справа — четное. Значит, корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.