Номер 2, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Найдите производные следующих функций:

$f(x)=2x-1, g(x)=x^2-2x-1, h(x)=(2x-1)^2, u(x)=(x^2-2x-1)^4$.

f(x)=2x-1

Для нахождения производной функции $f(x) = 2x - 1$ мы используем правило дифференцирования суммы/разности функций и таблицу производных элементарных функций. Производная суммы/разности равна сумме/разности производных.

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Производная линейной функции: $(kx)' = k$.

2. Производная константы: $(C)' = 0$.

Применяя эти правила, получаем:

$f'(x) = (2x - 1)' = (2x)' - (1)' = 2 - 0 = 2$.

Ответ: $f'(x) = 2$.

g(x)=x²-2x-1

Для нахождения производной функции $g(x) = x^2 - 2x - 1$ мы также используем правило дифференцирования суммы/разности и таблицу производных.

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

2. Производная линейной функции: $(kx)' = k$.

3. Производная константы: $(C)' = 0$.

Найдем производную каждого слагаемого в функции:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

$(2x)' = 2$.

$(1)' = 0$.

Теперь объединим результаты:

$g'(x) = (x^2)' - (2x)' - (1)' = 2x - 2 - 0 = 2x - 2$.

Ответ: $g'(x) = 2x - 2$.

h(x)=(2x-1)²

Эта функция является сложной. Для нахождения её производной используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это возведение в квадрат $f(u) = u^2$, а внутренняя функция — это выражение в скобках $g(x) = 2x - 1$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^2)' = 2u$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x - 1)' = 2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила, заменив $u$ на $g(x)$:

$h'(x) = 2(2x - 1) \cdot 2$.

Упростим полученное выражение:

$h'(x) = 4(2x - 1) = 8x - 4$.

Ответ: $h'(x) = 8x - 4$.

u(x)=(x²-2x-1)⁴

Эта функция также является сложной, и для нахождения её производной мы снова применим цепное правило: $(f(v(x)))' = f'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Здесь внешняя функция — это возведение в четвертую степень $f(v) = v^4$, а внутренняя функция — $v(x) = x^2 - 2x - 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $f'(v) = (v^4)' = 4v^3$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (x^2 - 2x - 1)' = 2x - 2$.

Подставим производные в формулу, заменив $v$ на $v(x)$:

$u'(x) = 4(x^2 - 2x - 1)^3 \cdot (2x - 2)$.

Для упрощения можно вынести общий множитель 2 из второго множителя $(2x-2)$:

$u'(x) = 4(x^2 - 2x - 1)^3 \cdot 2(x - 1) = 8(x - 1)(x^2 - 2x - 1)^3$.

Ответ: $u'(x) = 8(x - 1)(x^2 - 2x - 1)^3$.