Номер 26, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

26. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) $f(x) = \frac{2x-1}{2x+1}$, $x_0 = 0.5$;

б) $f(x) = \frac{x^3+1}{x^3+2}$, $x_0 = 0$;

В) $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$, $x_0 = -3$;

Г) $f(x) = \frac{6x+2}{3x-5}$, $x_0 = 2$.

Для решения всех задач мы будем использовать правило дифференцирования частного двух функций: Если $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то ее производная $f'(x) = (\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{2x-1}{2x+1}$ и точка $x_0 = 0,5$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$.
Производные этих функций: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 2$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{2(2x+1) - (2x-1) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{4x+2 - 4x+2}{(2x+1)^2} = \frac{4}{(2x+1)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:
$f'(0,5) = \frac{4}{(2 \cdot 0,5 + 1)^2} = \frac{4}{(1+1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1

б) Дана функция $f(x) = \frac{x^3+1}{x^3+2}$ и точка $x_0 = 0$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = x^3+1$ и $v(x) = x^3+2$.
Производные этих функций: $u'(x) = 3x^2$ и $v'(x) = 3x^2$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{3x^2(x^3+2) - (x^3+1) \cdot 3x^2}{(x^3+2)^2} = \frac{3x^5+6x^2 - 3x^5-3x^2}{(x^3+2)^2} = \frac{3x^2}{(x^3+2)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{3 \cdot 0^2}{(0^3+2)^2} = \frac{0}{2^2} = 0$.
Ответ: 0

в) Дана функция $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$ и точка $x_0 = -3$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 3x-1$ и $v(x) = x+4$.
Производные этих функций: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 1$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{3(x+4) - (3x-1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3x+12 - 3x+1}{(x+4)^2} = \frac{13}{(x+4)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:
$f'(-3) = \frac{13}{(-3+4)^2} = \frac{13}{1^2} = 13$.
Ответ: 13

г) Дана функция $f(x) = \frac{6x+2}{3x-5}$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную функции $f(x)$. Здесь $u(x) = 6x+2$ и $v(x) = 3x-5$.
Производные этих функций: $u'(x) = 6$ и $v'(x) = 3$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{6(3x-5) - (6x+2) \cdot 3}{(3x-5)^2} = \frac{18x-30 - (18x+6)}{(3x-5)^2} = \frac{18x-30-18x-6}{(3x-5)^2} = \frac{-36}{(3x-5)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{-36}{(3 \cdot 2 - 5)^2} = \frac{-36}{(6-5)^2} = \frac{-36}{1^2} = -36$.
Ответ: -36