Номер 29, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

29. Дана функция $f(x)=\sin x+\cos 3x-7x^2$. Найдите производную функции, вторую производную, производную третьего порядка, производную четвертого порядка.

Производная функции

Дана функция $f(x) = \sin x + \cos 3x - 7x^2$.

Для нахождения первой производной $f'(x)$ необходимо продифференцировать каждый член функции, используя правило суммы $(u+v)'=u'+v'$ и основные правила дифференцирования.

1. Производная от первого слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

2. Производная от второго слагаемого, $\cos 3x$, находится как производная сложной функции по формуле $(\cos(u))' = -u' \cdot \sin(u)$, где $u = 3x$ и $u' = 3$. Таким образом, $(\cos 3x)' = -3\sin(3x)$.

3. Производная от третьего слагаемого, $-7x^2$, находится по правилу степенной функции $(ax^n)' = anx^{n-1}$. Таким образом, $(-7x^2)' = -7 \cdot 2x = -14x$.

Складывая полученные производные, находим производную всей функции:

$f'(x) = \cos x - 3\sin(3x) - 14x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - 3\sin(3x) - 14x$.

Вторая производная

Вторая производная $f''(x)$ является производной от первой производной $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = (\cos x - 3\sin(3x) - 14x)'$.

Дифференцируем каждый член $f'(x)$:

1. $(\cos x)' = -\sin x$.

2. $(-3\sin(3x))' = -3(\sin(3x))' = -3(\cos(3x) \cdot 3) = -9\cos(3x)$.

3. $(-14x)' = -14$.

Складывая результаты, получаем вторую производную:

$f''(x) = -\sin x - 9\cos(3x) - 14$.

Ответ: $f''(x) = -\sin x - 9\cos(3x) - 14$.

Производная третьего порядка

Производная третьего порядка $f'''(x)$ является производной от второй производной $f''(x)$.

$f'''(x) = (f''(x))' = (-\sin x - 9\cos(3x) - 14)'$.

Дифференцируем каждый член $f''(x)$:

1. $(-\sin x)' = -\cos x$.

2. $(-9\cos(3x))' = -9(\cos(3x))' = -9(-\sin(3x) \cdot 3) = 27\sin(3x)$.

3. Производная от константы $(-14)'$ равна 0.

Складывая результаты, получаем производную третьего порядка:

$f'''(x) = -\cos x + 27\sin(3x)$.

Ответ: $f'''(x) = -\cos x + 27\sin(3x)$.

Производная четвертого порядка

Производная четвертого порядка $f^{(4)}(x)$ является производной от производной третьего порядка $f'''(x)$.

$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (-\cos x + 27\sin(3x))'$.

Дифференцируем каждый член $f'''(x)$:

1. $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

2. $(27\sin(3x))' = 27(\sin(3x))' = 27(\cos(3x) \cdot 3) = 81\cos(3x)$.

Складывая результаты, получаем производную четвертого порядка:

$f^{(4)}(x) = \sin x + 81\cos(3x)$.

Ответ: $f^{(4)}(x) = \sin x + 81\cos(3x)$.