Номер 32, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

32. Найдите значения производной функции $f(x)$ в точке $x = x_0$, если:

а) $f(x) = x \cos x - \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $f(x) = 4x^2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

в) $f(x) = \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi x}{8}\right)$, $x_0 = 2$;

г) $f(x) = x \arcsin(x+1)$, $x_0 = 0$.

а)Дана функция $f(x) = x \cos x - \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения для первого слагаемого $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования разности.
$f'(x) = (x \cos x - \sin x)' = (x \cos x)' - (\sin x)'$
$(x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$
$(\sin x)' = \cos x$
Следовательно, $f'(x) = (\cos x - x \sin x) - \cos x = -x \sin x$.
2. Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi}{3})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

б)Дана функция $f(x) = 4x^2 \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.
1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило для сложной функции.
Пусть $u(x) = 4x^2$ и $v(x) = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$.
$u'(x) = 8x$
$v'(x) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) \cdot (\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})' = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 8x \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) + 4x^2 (-\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})) = 8x \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) - 2x^2 \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.
$f'(\frac{2\pi}{3}) = 8(\frac{2\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}) - 2(\frac{2\pi}{3})^2 \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3})$
Вычислим аргумент тригонометрических функций: $\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0$.
$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{16\pi}{3} \sin(0) - 2(\frac{4\pi^2}{9}) \cos(0)$
Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{16\pi}{3} \cdot 0 - \frac{8\pi^2}{9} \cdot 1 = -\frac{8\pi^2}{9}$.
Ответ: $f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{8\pi^2}{9}$.

в)Дана функция $f(x) = \text{tg}^2(\frac{\pi x}{8})$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем производную функции $f(x) = (\tan(\frac{\pi x}{8}))^2$. Используем цепное правило.
Пусть $u(y) = y^2$ и $y(x) = \tan(\frac{\pi x}{8})$.
$f'(x) = 2 \tan(\frac{\pi x}{8}) \cdot (\tan(\frac{\pi x}{8}))'$
Производная тангенса: $(\tan z)' = \frac{1}{\cos^2 z}$. Применяем цепное правило еще раз:
$(\tan(\frac{\pi x}{8}))' = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})} \cdot (\frac{\pi x}{8})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})} \cdot \frac{\pi}{8}$
Тогда $f'(x) = 2 \tan(\frac{\pi x}{8}) \cdot \frac{\pi}{8 \cos^2(\frac{\pi x}{8})} = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi x}{8})}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$.
$f'(2) = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi \cdot 2}{8})}{\cos^2(\frac{\pi \cdot 2}{8})} = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi}{4})}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$
Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$f'(2) = \frac{\pi}{4} \frac{1}{1/2} = \frac{\pi}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $f'(2) = \frac{\pi}{2}$.

г)Дана функция $f(x) = x \arcsin(x+1)$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.
$f'(x) = (x)' \arcsin(x+1) + x (\arcsin(x+1))'$
Производная арксинуса: $(\arcsin z)' = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$.
$(\arcsin(x+1))' = \frac{1}{\sqrt{1-(x+1)^2}} \cdot (x+1)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2+2x+1)}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2-2x}}$.
$f'(x) = 1 \cdot \arcsin(x+1) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{-x^2-2x}} = \arcsin(x+1) + \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}}$.
2. Область определения функции $f(x)$ задается условием $-1 \le x+1 \le 1$, что эквивалентно $-2 \le x \le 0$. Точка $x_0 = 0$ является правым концом области определения. Производная в этой точке не определена (знаменатель обращается в ноль). В таких случаях значение производной в конечной точке области определения находят как односторонний предел (в данном случае, слева).
$f'(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \arcsin(x+1) + \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}} \right)$.
Найдем предел каждого слагаемого отдельно:
$\lim_{x \to 0^-} \arcsin(x+1) = \arcsin(0+1) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{-x(x+2)}}$. Так как $x \to 0^-$, то $x < 0$, и мы можем записать $x = -\sqrt{x^2}$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sqrt{x^2}}{\sqrt{-x(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{x^2}{-x(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{x}{-(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{-x}{x+2}}$.
Подставляя $x=0$, получаем $-\sqrt{\frac{0}{2}} = 0$.
Складывая пределы, получаем: $f'(0) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $f'(0) = \frac{\pi}{2}$.