Номер 23, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. Найдите значения переменной $x$, при которых производная функции $f(x)$ равна $a$.

а) $f(x)=3\sin x, a=1,5;$

б) $f(x)=5\cos 4x+8\pi, a=10\sqrt{3};$

в) $f(x)=9\sin 4x-15x, a=3;$

г) $f(x)=0,3\text{ctg}(10\pi x)+9\pi x, a=6\pi.$

а) Дана функция $f(x) = 3\sin x$ и значение производной $a = 1,5$. Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (3\sin x)' = 3\cos x$. Теперь приравняем производную к заданному значению $a$: $f'(x) = a \implies 3\cos x = 1,5$. Решим полученное уравнение: $\cos x = \frac{1,5}{3} = 0,5$. Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \pm\arccos(0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = 5\cos 4x + 8\pi$ и значение производной $a = 10\sqrt{3}$. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и тот факт, что производная константы равна нулю: $f'(x) = (5\cos 4x + 8\pi)' = 5(-\sin 4x) \cdot (4x)' + 0 = -20\sin 4x$. Приравняем производную к значению $a$: $-20\sin 4x = 10\sqrt{3}$. Решим уравнение: $\sin 4x = -\frac{10\sqrt{3}}{20} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение этого уравнения имеет вид: $4x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем: $4x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$. Разделим обе части на 4: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 9\sin 4x - 15x$ и значение производной $a = 3$. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (9\sin 4x - 15x)' = 9\cos 4x \cdot (4x)' - 15 = 36\cos 4x - 15$. Приравняем производную к значению $a$: $36\cos 4x - 15 = 3$. Решим полученное уравнение: $36\cos 4x = 3 + 15 = 18$. $\cos 4x = \frac{18}{36} = 0,5$. Общее решение этого уравнения: $4x = \pm\arccos(0,5) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Разделим обе части на 4: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = 0,3\operatorname{ctg}(10\pi x) + 9\pi x$ и значение производной $a = 6\pi$. Найдем производную функции $f(x)$. Производная $\operatorname{ctg}(u)$ равна $-\frac{u'}{\sin^2 u}$. $f'(x) = (0,3\operatorname{ctg}(10\pi x) + 9\pi x)' = 0,3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(10\pi x)}\right) \cdot (10\pi x)' + 9\pi = -0,3 \cdot \frac{10\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi = -\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi$. Приравняем производную к значению $a$: $-\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} + 9\pi = 6\pi$. Решим уравнение: $-\frac{3\pi}{\sin^2(10\pi x)} = 6\pi - 9\pi = -3\pi$. Разделим обе части на $-3\pi$: $\frac{1}{\sin^2(10\pi x)} = 1$. $\sin^2(10\pi x) = 1$. Это уравнение равносильно тому, что $\sin(10\pi x) = 1$ или $\sin(10\pi x) = -1$. Это можно записать одним уравнением: $\cos(10\pi x) = 0$. Решение этого уравнения: $10\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на $10\pi$: $x = \frac{\pi/2}{10\pi} + \frac{\pi n}{10\pi} = \frac{1}{20} + \frac{n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Область определения исходной функции $10\pi x \neq \pi k$, то есть $x \neq \frac{k}{10}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Наши решения не совпадают с точками, где функция не определена, так как $\frac{1}{20} + \frac{n}{10} = \frac{1+2n}{20}$ никогда не будет равно $\frac{k}{10} = \frac{2k}{20}$, потому что числитель $1+2n$ всегда нечетный, а $2k$ всегда четный. Ответ: $x = \frac{1}{20} + \frac{n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.