Номер 2, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Докажите, что $(ctgx)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ (формула 7).

Доказательство формулы 10.

Докажем, что $(arctgx)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Действительно, по определению арктангенса для всех $x$ выполняется равенство $(tg(arctgx))=x$.

Следовательно, для всех $x$ выполняется равенство $(tg(arctgx))' = x'$.

К левой части применяем формулу $(tg g)' = \frac{1}{\cos^2 g} \cdot g'$, где $g=arctgx$.

Получаем равенство:

$\frac{1}{\cos^2 (arctgx)} \cdot (arctgx)' = 1$,

откуда

$(arctgx)' = \cos^2 (arctgx)$.

Остается доказать, что $\cos^2 (arctgx) = \frac{1}{1+x^2}$.

Пусть $arctgx=\alpha$, тогда $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ и $tg\alpha=x$, $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+tg^2 \alpha} = \frac{1}{1+x^2}$.

Докажите, что $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ (формула 7).

Для доказательства этой формулы воспользуемся определением котангенса как отношения тригонометрических функций и правилом дифференцирования частного.

1. Запишем котангенс в виде дроби: $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

2. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u = \cos x$ и $v = \sin x$.

3. Найдем производные функций $u$ и $v$:
Производная косинуса: $u' = (\cos x)' = -\sin x$.
Производная синуса: $v' = (\sin x)' = \cos x$.

4. Подставим найденные производные в формулу правила дифференцирования частного:
$(\text{ctg}x)' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}$

5. Упростим выражение в числителе:
$\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

6. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ к выражению в скобках:
$\frac{-(1)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Доказательство формулы 10. Докажем, что $(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для доказательства воспользуемся определением арктангенса и правилом дифференцирования сложной функции, следуя логике, представленной в задании.

1. Согласно определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ справедливо тождество: $\text{tg}(\text{arctg}x) = x$.

2. Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$:
$(\text{tg}(\text{arctg}x))' = (x)'$

3. Производная функции $f(x)=x$ в правой части равна 1: $(x)' = 1$.

4. Для левой части применим правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Пусть $g(x) = \text{arctg}x$ и $f(g) = \text{tg}g$. Производная тангенса $f'(g) = (\text{tg}g)' = \frac{1}{\cos^2 g}$. Применяя правило, получаем:
$(\text{tg}(\text{arctg}x))' = \frac{1}{\cos^2(\text{arctg}x)} \cdot (\text{arctg}x)'$.

5. Теперь приравняем производные левой и правой частей исходного тождества:
$\frac{1}{\cos^2(\text{arctg}x)} \cdot (\text{arctg}x)' = 1$

6. Из полученного уравнения выразим искомую производную $(\text{arctg}x)'$:
$(\text{arctg}x)' = \cos^2(\text{arctg}x)$

7. Осталось выразить $\cos^2(\text{arctg}x)$ через $x$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Отсюда следует, что $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha}$.

8. Пусть $\alpha = \text{arctg}x$. По определению арктангенса, это равносильно тому, что $\text{tg}\alpha = x$ (при этом $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$). Подставим $\text{tg}\alpha = x$ в выражение для $\cos^2\alpha$ из предыдущего шага:
$\cos^2(\text{arctg}x) = \frac{1}{1 + (\text{tg}(\text{arctg}x))^2} = \frac{1}{1 + x^2}$

9. Наконец, подставим это выражение в формулу для производной, полученную в шаге 6:
$(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: $(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.