Номер 1, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Докажите, что $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5).

Доказательство формулы 6.

Используем правило $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-g'f}{g^2}$:

$(tgx)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Докажите, что $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5).

Для доказательства этой формулы воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

В нашем случае $f(x) = \cos x$. Подставим эту функцию в определение производной:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Используем тригонометрическую формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Применив ее, получаем:

$\cos(x + \Delta x) = \cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x)$

Подставим это выражение в предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы вынести $\cos x$ за скобки:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x (\cos(\Delta x) - 1) - \sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Разделим предел на два, используя свойства пределов:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x (\cos(\Delta x) - 1)}{\Delta x} - \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Поскольку $\cos x$ и $\sin x$ не зависят от $\Delta x$, их можно вынести за знаки пределов:

$(\cos x)' = \cos x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} - \sin x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Теперь необходимо использовать два фундаментальных тригонометрических предела:

1. Первый замечательный предел: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.

2. Его следствие: $\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0$.

Подставим значения этих пределов (где $t = \Delta x$) в наше выражение для производной:

$(\cos x)' = \cos x \cdot (0) - \sin x \cdot (1) = 0 - \sin x = -\sin x$

Таким образом, мы доказали, что производная функции косинус равна минус синус.

Ответ: Утверждение $(\cos x)' = -\sin x$ доказано.

Доказательство формулы 6.

В этой части доказывается формула для производной тангенса, которая, судя по всему, и является формулой 6: $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

1. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

2. Применим правило дифференцирования частного двух функций $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - g'f}{g^2}$, где $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \cos x$.

$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2}$

3. Используем уже известные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5, доказанная выше).

Подставляем эти производные в полученное выражение:

$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

4. В числителе мы получили выражение, которое согласно основному тригонометрическому тождеству равно единице: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Заменяем числитель на 1:

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Это завершает доказательство формулы производной тангенса.

Ответ: Формула 6, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, доказана.