Номер 20, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

20. (3)
Докажите, что прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ является касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы доказать, что заданная прямая является касательной к графику функции в указанной точке, необходимо составить уравнение касательной к этому графику в этой точке и убедиться, что оно совпадает с уравнением данной прямой.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Нам даны:
Функция: $f(x) = -\sqrt{x+3}$
Прямая: $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$
Абсцисса точки касания: $x_0 = 1$

Выполним построение уравнения касательной по шагам.

1. Находим значение функции в точке $x_0$.

Подставим $x_0 = 1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$f(1) = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, точка касания на графике функции имеет координаты $(1, -2)$.

2. Находим производную функции $f(x)$.

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (-\sqrt{x+3})' = (-(x+3)^{1/2})' = -\frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = -\frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = -\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

3. Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0$.

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{1+3}} = -\frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0=1$ равен $-\frac{1}{4}$.

4. Составляем уравнение касательной.

Теперь подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=-2$ и $f'(x_0)=-1/4$ в общее уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = -2 + (-\frac{1}{4})(x-1)$

$y = -2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$

$y = -\frac{1}{4}x - \frac{8}{4} + \frac{1}{4}$

$y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$

5. Сравниваем полученное уравнение с заданным.

Мы получили уравнение касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке $x_0=1$: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$.

В условии задачи дана прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$.

Сравнивая эти два уравнения, мы видим, что они не идентичны, поскольку их свободные члены отличаются: $-\frac{7}{4} \neq -\frac{3}{4}$.

Это означает, что прямая, данная в условии, не является касательной к графику функции в указанной точке. Утверждение в задаче является некорректным. Чтобы прямая была касательной в точке, она должна проходить через эту точку. Проверим, проходит ли прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ через точку касания $(1, -2)$:

$-2 = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$-2 = -\frac{4}{4}$

$-2 = -1$

Равенство неверно, следовательно, прямая не проходит через точку касания.

Ответ: Утверждение, данное в задаче, неверно. Прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ не является касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Уравнение истинной касательной в этой точке: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$.