Номер 18, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (2) Постройте график функции $f(x)=|\cos x|-3$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная положительна.

Для решения задачи построим график функции $f(x)=|\cos x|-3$ и проанализируем его свойства. Построение графика можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала строим график основной тригонометрической функции $y=\cos x$. Это известная косинусоида с периодом $2\pi$, колеблющаяся в диапазоне от -1 до 1.

2. Затем строим график функции $y=|\cos x|$. Для этого часть графика $y=\cos x$, которая находится ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражается относительно этой оси. В результате получается периодическая функция с периодом $\pi$, значения которой лежат в диапазоне от 0 до 1.

3. Наконец, строим график искомой функции $f(x)=|\cos x|-3$. Это достигается путем сдвига графика $y=|\cos x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Область значений функции $f(x)$ будет от $0-3=-3$ до $1-3=-2$, то есть $E(f) = [-3, -2]$.

Теперь, основываясь на виде функции и ее графике, определим точки, удовлетворяющие заданным условиям.

а) не существует производной;

Производная функции не существует в точках, где график имеет изломы (острые углы). Для функции $f(x)=|\cos x|-3$ такие точки соответствуют точкам, где подмодульное выражение обращается в ноль, то есть $\cos x = 0$.

Решим уравнение:

$\cos x = 0$

Корни этого уравнения имеют вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

В этих точках график функции имеет изломы, и касательную к графику провести невозможно, следовательно, производная не существует.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) производная равна нулю;

Производная функции равна нулю в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где график имеет горизонтальную касательную. Для функции $f(x)=|\cos x|-3$ это точки, где функция $|\cos x|$ достигает своего максимального значения, равного 1. Это происходит, когда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Рассмотрим производную функции, раскрыв модуль:

$f(x) = \begin{cases} \cos x - 3, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ -\cos x - 3, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Тогда производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = \begin{cases} -\sin x, & \text{если } \cos x > 0 \\ \sin x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Приравняем производную к нулю в каждом случае:

1. Если $\cos x > 0$, то $f'(x) = -\sin x = 0$. Отсюда $\sin x = 0$, что дает $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Условию $\cos x > 0$ удовлетворяют точки, где $n$ — четное число, то есть $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $f'(x) = \sin x = 0$. Отсюда $\sin x = 0$, что дает $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Условию $\cos x < 0$ удовлетворяют точки, где $n$ — нечетное число, то есть $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба случая, получаем, что производная равна нулю в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция достигает своих локальных максимумов $f(\pi k)=|\cos(\pi k)|-3 = 1-3=-2$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) производная положительна.

Найдем интервалы, на которых $f'(x)>0$.

1. Если $\cos x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{2}+2\pi k)$, то $f'(x) = -\sin x$. Неравенство $f'(x)>0$ принимает вид $-\sin x > 0$, или $\sin x < 0$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ этому условию удовлетворяет промежуток $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Общее решение в этом случае: $x \in (-\frac{\pi}{2}+2\pi k, 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{3\pi}{2}+2\pi k)$, то $f'(x) = \sin x$. Неравенство $f'(x)>0$ принимает вид $\sin x > 0$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ этому условию удовлетворяет промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. Общее решение в этом случае: $x \in (\frac{\pi}{2}+2\pi k, \pi+2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Объединим полученные интервалы. Можно заметить, что они составляют множества вида $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \pi+\pi k)$ для всех целых $k$.

Например, при $k=0$ получаем $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ из первого случая и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ из второго.При $k=1$ получаем $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ из первого случая и $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$ из второго.Это соответствует интервалам возрастания функции между точками излома (локальными минимумами) и точками локальных максимумов.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}+\pi k, \pi+\pi k), k \in \mathbb{Z}$.