Номер 17, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

17. (2) Постройте график функции $f(x) = |x^2 + 2x|$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная отрицательна.

Для построения графика функции $f(x)=|x^2+2x|$ сначала проанализируем и построим параболу $y=x^2+2x$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем нули функции $y=x^2+2x$ (точки пересечения с осью Ox):

$x^2+2x=0$

$x(x+2)=0$

Корни: $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Найдем вершину параболы:

Координата x вершины: $x_в = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.

Координата y вершины: $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1-2 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.

График функции $f(x)=|x^2+2x|$ получается из графика параболы $y=x^2+2x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox (где $y<0$). Эта часть находится на интервале между корнями, то есть при $x \in (-2, 0)$. Вершина $(-1, -1)$ после отражения перейдет в точку $(-1, 1)$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно записать в кусочно-заданном виде:

$f(x) =\begin{cases}x^2+2x, & \text{если } x^2+2x \ge 0, \text{ то есть } x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty) \\-(x^2+2x), & \text{если } x^2+2x < 0, \text{ то есть } x \in (-2, 0)\end{cases}$

Найдем производную функции $f'(x)$ для каждого интервала:

$f'(x) =\begin{cases}2x+2, & \text{если } x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty) \\-2x-2, & \text{если } x \in (-2, 0)\end{cases}$

В точках $x=-2$ и $x=0$ производная может не существовать, так как это точки "излома" графика.

а) не существует производной

Производная не существует в точках, где левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Исследуем точки $x=-2$ и $x=0$.

Для точки $x=-2$:

Предел производной слева: $f'(-2-0) = \lim_{x \to -2^-} (2x+2) = 2(-2)+2 = -2$.

Предел производной справа: $f'(-2+0) = \lim_{x \to -2^+} (-2x-2) = -2(-2)-2 = 4-2=2$.

Так как $-2 \ne 2$, производная в точке $x=-2$ не существует.

Для точки $x=0$:

Предел производной слева: $f'(0-0) = \lim_{x \to 0^-} (-2x-2) = -2(0)-2 = -2$.

Предел производной справа: $f'(0+0) = \lim_{x \to 0^+} (2x+2) = 2(0)+2 = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, производная в точке $x=0$ не существует.

Ответ: производная не существует в точках $x=-2$ и $x=0$.

б) производная равна нулю

Найдем точки, в которых $f'(x)=0$.

1. На интервалах $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ производная равна $f'(x) = 2x+2$.

$2x+2 = 0 \implies x=-1$. Эта точка не принадлежит указанным интервалам, поэтому здесь решений нет.

2. На интервале $(-2, 0)$ производная равна $f'(x) = -2x-2$.

$-2x-2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x=-1$. Эта точка принадлежит интервалу $(-2, 0)$. Это соответствует вершине отраженной части параболы.

Ответ: производная равна нулю в точке $x=-1$.

в) производная отрицательна

Найдем интервалы, на которых $f'(x) < 0$.

1. На интервалах $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ решаем неравенство $2x+2 < 0$.

$2x < -2 \implies x < -1$.

Пересекая с областью определения $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$, получаем интервал $(-\infty, -2)$.

2. На интервале $(-2, 0)$ решаем неравенство $-2x-2 < 0$.

$-2x < 2 \implies x > -1$.

Пересекая с областью определения $(-2, 0)$, получаем интервал $(-1, 0)$.

Объединяя полученные результаты, находим, что производная отрицательна при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0)$.

Ответ: производная отрицательна на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-1, 0)$.