Номер 24, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

24. (4) Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+4x$ в точке с абсциссой $x_0=-5$. Определите значение производной $f'(-5)$, (см. определение касательной к параболе в п.2.2 и пример 1).

Задача состоит из двух частей: нахождение значения производной в точке и составление уравнения касательной в этой же точке. Для нахождения уравнения касательной необходимо знать значение производной, поэтому начнем с него.

Определите значение производной f'(-5)
Дана функция $f(x) = x^2 + 4x$.
Чтобы найти значение производной в конкретной точке, сначала найдем производную функции в общем виде. Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$.
$f'(x) = (x^2 + 4x)' = (x^2)' + (4x)' = 2x^{2-1} + 4 = 2x + 4$.
Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = -5$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$:
$f'(-5) = 2 \cdot (-5) + 4 = -10 + 4 = -6$.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Ответ: $f'(-5) = -6$.

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²+4x в точке с абсциссой x₀=-5
Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Нам известны следующие значения:
1. Абсцисса точки касания: $x_0 = -5$.
2. Значение производной в этой точке (найдено в предыдущем пункте): $f'(x_0) = f'(-5) = -6$.
Теперь необходимо найти ординату точки касания, то есть значение функции $f(x)$ при $x=x_0$:
$f(x_0) = f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-5; 5)$.
Подставим все найденные значения ($x_0=-5$, $f(x_0)=5$, $f'(x_0)=-6$) в формулу уравнения касательной:
$y = 5 + (-6)(x - (-5))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые для получения уравнения в виде $y=kx+b$:
$y = 5 - 6(x + 5)$
$y = 5 - 6x - 30$
$y = -6x - 25$.
Ответ: $y = -6x - 25$.