Номер 16, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. (1) По графику функции $f(x)=-x^2-2x$ определите знаки чисел $f'(1)$, $f'(0)$, $f'(-1)$, $f'(-3)$.

Для определения знаков производной функции по её графику используется геометрический смысл производной. Знак производной $f'(x)$ в точке $x_0$ показывает, возрастает или убывает функция $f(x)$ в этой точке:
• если функция возрастает (график идет вверх), то её производная в этой точке положительна: $f'(x_0) > 0$;
• если функция убывает (график идет вниз), то её производная в этой точке отрицательна: $f'(x_0) < 0$;
• если в точке находится вершина графика (точка экстремума), то касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.
Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=-1$ и $b=-2$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.
Вершина параболы находится в точке $x = -1$. Это точка максимума.
Таким образом, слева от точки $x = -1$ (на интервале $(-\infty; -1)$) функция возрастает, а справа от нее (на интервале $(-1; +\infty)$) — убывает.

Определение знака f'(1)
Точка $x=1$ находится правее вершины параболы ($1 > -1$), то есть на интервале, где функция $f(x)$ убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: $f'(1) < 0$.

Определение знака f'(0)
Точка $x=0$ также находится правее вершины ($0 > -1$), на интервале убывания функции. Значит, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: $f'(0) < 0$.

Определение знака f'(-1)
Точка $x=-1$ является вершиной параболы, то есть точкой максимума. В этой точке функция не возрастает и не убывает, а касательная к графику горизонтальна. Поэтому производная в этой точке равна нулю.
Ответ: $f'(-1) = 0$.

Определение знака f'(-3)
Точка $x=-3$ находится левее вершины ($-3 < -1$), то есть на интервале, где функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, производная в этой точке положительна.
Ответ: $f'(-3) > 0$.