Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 4

Каждому числу $x$ из отрезка $[-1;1]$ поставим в соответствие значение $y$, удовлетворяющее уравнению $x^2 + y^2 = 1$. Задает ли такое правило функцию?

По определению, функция — это правило, согласно которому каждому элементу $x$ из множества определения (области определения) ставится в соответствие единственное значение $y$ из множества значений. В данном случае область определения для $x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Правило соответствия задано уравнением $x^2 + y^2 = 1$. Чтобы проверить, является ли это правило функцией, нужно выяснить, сколько значений $y$ соответствует каждому значению $x$ из указанного отрезка.

Выразим $y$ из уравнения: $y^2 = 1 - x^2$ $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$

Теперь рассмотрим конкретное значение $x$ из отрезка $[-1; 1]$. Возьмем, например, $x = 0$, которое принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Подставим его в полученное выражение для $y$: $y = \pm\sqrt{1 - 0^2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$. Это означает, что одному значению аргумента $x = 0$ соответствуют два различных значения $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Так как для одного значения $x$ из области определения нашлось более одного соответствующего значения $y$, то нарушается основное требование к функции — единственность значения. Геометрически уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1. График функции не может пересекаться вертикальной прямой более чем в одной точке. В нашем случае любая вертикальная прямая $x=c$, где $c \in (-1; 1)$, пересекает окружность в двух точках, что подтверждает, что данное соотношение не является функцией.

Ответ: Нет, данное правило не задает функцию, поскольку для некоторых значений $x$ (для всех $x \in (-1; 1)$) существует два соответствующих значения $y$, что противоречит определению функции.

Упражнение 5

Каждому числу $x$ из отрезка $[-1;1]$ поставим в соответствие число $y=\sqrt{1-x^2}$. Задает ли такое правило функцию?

Да, данное правило задает функцию. Согласно определению, функция — это правило, по которому каждому элементу $x$ из области определения (в данном случае это отрезок $[-1; 1]$) ставится в соответствие единственное значение $y$. Чтобы это проверить, необходимо убедиться в выполнении двух условий.

1. Существование значения $y$ для каждого $x$ из области определения.
Правило задано формулой $y = \sqrt{1 - x^2}$. Чтобы значение $y$ было действительным числом, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $1 - x^2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 \le 1$, что эквивалентно $|x| \le 1$ или $-1 \le x \le 1$. Эта область полностью совпадает с заданным в условии отрезком $x \in [-1; 1]$. Следовательно, для любого $x$ из указанного отрезка можно вычислить соответствующее значение $y$. Первое условие выполняется.

2. Единственность значения $y$ для каждого $x$ из области определения.
Символ $\sqrt{}$ в математике обозначает арифметический квадратный корень, который по определению является единственным и неотрицательным числом. Это значит, что для каждого конкретного значения $x$ из отрезка $[-1; 1]$ мы получим ровно одно значение $y$. Например, если $x = 0.6$, то $y = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$. Результат вычисления — единственное число. Второе условие также выполняется.

Поскольку для каждого числа $x$ из отрезка $[-1; 1]$ существует единственное соответствующее ему число $y$, данное правило задает функцию.

Ответ: Да, такое правило задает функцию.