Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

4. Найдите область определения функции $y=\sqrt{x^2-x-72}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x - 72}$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком квадратного корня, является неотрицательным.

Для нахождения области определения необходимо решить следующее неравенство:

$x^2 - x - 72 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 72 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Корнями уравнения являются числа $-8$ и $9$. Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Следовательно, квадратный трехчлен $x^2 - x - 72$ принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства имеет вид: $x \le -8$ или $x \ge 9$.

В виде объединения числовых промежутков это записывается так: $(-\infty; -8] \cup [9; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -8] \cup [9; +\infty)$.

5. Постройте график функции $y=2x^3-5$.

Построение графика функции $y = 2x^3 - 5$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=x^3$. Процесс состоит из нескольких шагов:

1. Построение графика базовой функции $y = x^3$. Это стандартная кубическая парабола, которая проходит через начало координат (0,0) и является симметричной относительно него. Ключевые точки: (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

2. Растяжение графика вдоль оси OY. Функция $y = 2x^3$ получается из $y = x^3$ путем растяжения вдоль оси ординат (OY) в 2 раза. Это означает, что для каждой точки графика $y=x^3$ ее ордината (координата y) умножается на 2, а абсцисса (координата x) остается прежней. Точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1) перейдут в точки (-1, -2), (0, 0), (1, 2).

3. Сдвиг графика вдоль оси OY. Функция $y = 2x^3 - 5$ получается из графика $y = 2x^3$ путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси OY. Это означает, что из ординаты каждой точки графика $y=2x^3$ нужно вычесть 5.

Для точного построения итогового графика составим таблицу значений для функции $y = 2x^3 - 5$:

При $x = -2$: $y = 2 \cdot (-2)^3 - 5 = 2 \cdot (-8) - 5 = -16 - 5 = -21$. Получаем точку (-2, -21).
При $x = -1$: $y = 2 \cdot (-1)^3 - 5 = 2 \cdot (-1) - 5 = -2 - 5 = -7$. Получаем точку (-1, -7).
При $x = 0$: $y = 2 \cdot 0^3 - 5 = 0 - 5 = -5$. Получаем точку (0, -5). Это точка пересечения с осью OY и точка перегиба графика.
При $x = 1$: $y = 2 \cdot 1^3 - 5 = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$. Получаем точку (1, -3).
При $x = 2$: $y = 2 \cdot 2^3 - 5 = 2 \cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11$. Получаем точку (2, 11).

Также полезно найти точку пересечения с осью OX (когда $y=0$):
$2x^3 - 5 = 0 \implies 2x^3 = 5 \implies x^3 = 2.5 \implies x = \sqrt[3]{2.5} \approx 1.36$.
Точка пересечения с осью OX примерно (1.36, 0).

Построение:
На координатной плоскости отмечаем вычисленные точки: (-2, -21), (-1, -7), (0, -5), (1, -3), (2, 11). Затем плавно соединяем их линией, сохраняя S-образную форму кубической параболы. График проходит через I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График функции $y=2x^3 - 5$ — это кубическая парабола, полученная из графика $y=x^3$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси OY и последующего сдвига на 5 единиц вниз. Ключевые точки для построения: (-1, -7), (0, -5), (1, -3). Точка перегиба — (0, -5).

6. Решите дробно-рациональное неравенство методом интервалов:
$ \frac{x^2 - 7x + 12}{2x^2 + 4x + 5} > 0 $.

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{x^2-7x+12}{2x^2+4x+5}>0$ методом интервалов, необходимо найти нули числителя и знаменателя, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции.

1. Анализ числителя

Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 4$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $x=3$ и $x=4$.

2. Анализ знаменателя

Проверим, имеет ли знаменатель $2x^2 + 4x + 5$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 + 4x + 5 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у знаменателя нет действительных корней. Это означает, что знаменатель не обращается в ноль и сохраняет свой знак при любом значении $x$.

Чтобы определить этот знак, посмотрим на коэффициент при $x^2$. Он равен 2, что является положительным числом. Следовательно, парабола $y = 2x^2 + 4x + 5$ направлена ветвями вверх и целиком лежит выше оси абсцисс. Таким образом, знаменатель $2x^2 + 4x + 5$ всегда положителен.

3. Упрощение неравенства и решение

Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Исходное неравенство $\frac{x^2-7x+12}{2x^2+4x+5}>0$ равносильно неравенству:

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя найденные ранее корни:

$(x - 3)(x - 4) > 0$

Теперь применим метод интервалов. Нанесем на числовую прямую нули числителя $x=3$ и $x=4$. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми (не включенными в решение).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 3)(x - 4)$ на каждом интервале:

- В интервале $(-\infty; 3)$ (например, при $x=0$): $(0-3)(0-4) = 12 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(3; 4)$ (например, при $x=3.5$): $(3.5-3)(3.5-4) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».

- В интервале $(4; +\infty)$ (например, при $x=5$): $(5-3)(5-4) = (2)(1) = 2 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(-\infty; 3)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$

7. Упростите выражение $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta}$, если $\text{sin}(\alpha + \beta)=9\text{sin}(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи необходимо упростить выражение $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta}$, используя данное условие $\sin(\alpha + \beta) = 9\sin(\alpha - \beta)$.

Шаг 1: Преобразуем данное тригонометрическое равенство. Для этого воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 9(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 9\sin\alpha\cos\beta - 9\cos\alpha\sin\beta$

Перенесем слагаемые с $\cos\alpha\sin\beta$ в левую часть, а с $\sin\alpha\cos\beta$ — в правую:

$\cos\alpha\sin\beta + 9\cos\alpha\sin\beta = 9\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta$

$10\cos\alpha\sin\beta = 8\sin\alpha\cos\beta$

Шаг 2: Преобразуем выражение, которое нужно упростить. Используем определение котангенса $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\beta}{\sin\beta}}$

Упростим эту четырехэтажную дробь:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta}$

Шаг 3: Найдем значение полученного выражения. Из равенства, полученного на шаге 1, $10\cos\alpha\sin\beta = 8\sin\alpha\cos\beta$, выразим искомое отношение. Для этого разделим обе части равенства на $10\sin\alpha\cos\beta$. (Это возможно, так как из условия существования $\text{ctg}\alpha$ и $\text{ctg}\beta$ следует, что $\sin\alpha \neq 0$, $\sin\beta \neq 0$. Также $\cos\beta \neq 0$, иначе знаменатель исходного выражения был бы равен нулю).

$\frac{10\cos\alpha\sin\beta}{10\sin\alpha\cos\beta} = \frac{8\sin\alpha\cos\beta}{10\sin\alpha\cos\beta}$

$\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = \frac{8}{10}$

Сократим дробь:

$\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = \frac{4}{5}$

Следовательно, $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

8. Стоимость электроэнергии увеличилась на 25%. На сколько % нужно сократить потребление электроэнергии, чтобы платить такую же сумму, как раньше?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $P_1$ — первоначальная стоимость единицы электроэнергии, а $Q_1$ — первоначальный объем потребления. Тогда общая сумма, которую платили раньше, равна их произведению: $S_1 = P_1 \times Q_1$.

Стоимость электроэнергии увеличилась на 25%. Новая стоимость $P_2$ будет равна:

$P_2 = P_1 + 0.25 \times P_1 = 1.25 \times P_1$

Мы хотим, чтобы итоговая сумма к оплате $S_2$ осталась прежней, то есть $S_2 = S_1$. Для этого необходимо сократить потребление до нового объема $Q_2$. Новая сумма к оплате вычисляется как:

$S_2 = P_2 \times Q_2$

Приравниваем старую и новую суммы:

$P_1 \times Q_1 = P_2 \times Q_2$

Подставим в это уравнение выражение для $P_2$:

$P_1 \times Q_1 = (1.25 \times P_1) \times Q_2$

Теперь мы можем выразить новый объем потребления $Q_2$ через старый $Q_1$, разделив обе части уравнения на $P_1$ (так как $P_1 \neq 0$):

$Q_1 = 1.25 \times Q_2$

$Q_2 = \frac{Q_1}{1.25}$

Чтобы найти, какую часть от первоначального потребления составляет новое, вычислим значение дроби:

$\frac{1}{1.25} = \frac{1}{125/100} = \frac{100}{125} = \frac{4 \times 25}{5 \times 25} = \frac{4}{5} = 0.8$

Таким образом, $Q_2 = 0.8 \times Q_1$. Это означает, что новое потребление должно составлять 80% от старого.

Чтобы найти, на сколько процентов нужно сократить потребление, вычтем из 100% долю нового потребления:

$100\% - 80\% = 20\%$

Это же можно рассчитать по формуле процентного изменения:

$\frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} \times 100\% = \frac{Q_1 - 0.8 \times Q_1}{Q_1} \times 100\% = \frac{0.2 \times Q_1}{Q_1} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: потребление электроэнергии нужно сократить на 20%.

1. Решите иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-2} = \sqrt{x+1}$.

1.

Исходное иррациональное уравнение: $ \sqrt{2x - 1} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 1} $.

В первую очередь, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \\ x \ge -1 \end{cases} $

Пересечением этих трех условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Поскольку обе части уравнения неотрицательны (в рамках ОДЗ), мы можем возвести их в квадрат.

$ (\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x - 2})^2 = (\sqrt{x + 1})^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ (2x - 1) + 2\sqrt{(2x - 1)(x - 2)} + (x - 2) = x + 1 $

Упростим выражение:

$ 3x - 3 + 2\sqrt{2x^2 - 4x - x + 2} = x + 1 $

$ 3x - 3 + 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x + 1 $

Изолируем оставшийся радикал в одной части уравнения:

$ 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x + 1 - (3x - 3) $

$ 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -2x + 4 $

Разделим обе части на 2:

$ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -x + 2 $

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что левая часть (арифметический квадратный корень) не может быть отрицательной. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$ -x + 2 \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2 $

Совмещая это условие с ранее найденной ОДЗ ($x \ge 2$), получаем единственно возможное значение для $x$: $x=2$.

Проверим, является ли $x=2$ корнем исходного уравнения. Подставим его в уравнение:

$ \sqrt{2(2) - 1} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2 + 1} $

$ \sqrt{4 - 1} + \sqrt{0} = \sqrt{3} $

$ \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3} $

$ \sqrt{3} = \sqrt{3} $

Равенство верное, следовательно, $x=2$ является решением.

(Альтернативное продолжение после получения $ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -x + 2 $)

Возведем обе части в квадрат (с учетом ОДЗ и условия $x \le 2$):

$ (\sqrt{2x^2 - 5x + 2})^2 = (-x + 2)^2 $

$ 2x^2 - 5x + 2 = x^2 - 4x + 4 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ 2x^2 - x^2 - 5x + 4x + 2 - 4 = 0 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$) и дополнительному условию ($x \le 2$).

1. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ($2 \ge 2$ и $2 \le 2$).

2. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($ -1 \not\ge 2 $), следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $2$

2. Решите систему неравенств $ \begin{cases} 6x^2 - 29x + 30 \le 0, \\ 5x + 2 > 3x^2. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $6x^2 - 29x + 30 \le 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 29x + 30 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 30 = 841 - 720 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{29 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{29 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 29x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $6x^2 - 29x + 30 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [\frac{3}{2}; \frac{10}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $5x + 2 > 3x^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$3x^2 - 5x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - 5x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти пересечение двух полученных множеств решений:

$[\frac{3}{2}; \frac{10}{3}] \cap (-\frac{1}{3}; 2)$

Представим значения на числовой оси: $\frac{3}{2} = 1.5$, а $\frac{10}{3} \approx 3.33$.

Первый интервал — это отрезок $[1.5; 3.33...]$.

Второй интервал — это $(-0.33...; 2)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал, где они оба выполняются, то есть от $\frac{3}{2}$ до $2$. Поскольку $\frac{3}{2}$ входит в оба множества, скобка будет квадратной. Число $2$ не входит во второе множество, поэтому скобка будет круглой.

Таким образом, общее решение системы неравенств: $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Ответ: $[\frac{3}{2}; 2)$.

3. Найдите $a_1$, $d$ в арифметической прогрессии $\begin{cases} S_2 - S_4 + a_2 = 14, \\ S_3 + a_3 = 17. \end{cases}$

Для решения задачи нам понадобятся формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Исходная система уравнений выглядит следующим образом:

$\begin{cases} S_2 - S_4 + a_2 = 14 \\ S_3 + a_3 = 17 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение системы. Для этого выразим все его члены через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$S_2 = \frac{2a_1 + (2-1)d}{2} \cdot 2 = 2a_1 + d$

$S_4 = \frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = 2(2a_1 + 3d) = 4a_1 + 6d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(2a_1 + d) - (4a_1 + 6d) + (a_1 + d) = 14$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a_1 + d - 4a_1 - 6d + a_1 + d = 14$

$(2a_1 - 4a_1 + a_1) + (d - 6d + d) = 14$

$-a_1 - 4d = 14$

Теперь преобразуем второе уравнение системы, также выразив его члены через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 3(a_1 + d) = 3a_1 + 3d$

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

$(3a_1 + 3d) + (a_1 + 2d) = 17$

Упростим:

$4a_1 + 5d = 17$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} -a_1 - 4d = 14 \\ 4a_1 + 5d = 17 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$:

$-a_1 = 14 + 4d \implies a_1 = -14 - 4d$

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение:

$4(-14 - 4d) + 5d = 17$

$-56 - 16d + 5d = 17$

$-11d = 17 + 56$

$-11d = 73$

$d = -\frac{73}{11}$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:

$a_1 = -14 - 4d = -14 - 4(-\frac{73}{11}) = -14 + \frac{292}{11}$

$a_1 = \frac{-14 \cdot 11}{11} + \frac{292}{11} = \frac{-154 + 292}{11} = \frac{138}{11}$

Таким образом, мы нашли искомые значения $a_1$ и $d$.

Ответ: $a_1 = \frac{138}{11}, d = -\frac{73}{11}$.

4. Найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой:

$\begin{cases} b_3 + b_4 = 36, \\ b_2 + b_3 = 18. \end{cases}$

Обозначим через $b_1$ первый член геометрической прогрессии и через $q$ её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} b_3 + b_4 = 36 \\ b_2 + b_3 = 18 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии, входящие в систему, через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:
$b_2 = b_1 q$
$b_3 = b_1 q^2$
$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:
$\begin{cases} b_1q^2 + b_1q^3 = 36 \\ b_1q + b_1q^2 = 18 \end{cases}$

В каждом уравнении вынесем за скобки общий множитель:
$\begin{cases} b_1q^2(1 + q) = 36 \\ b_1q(1 + q) = 18 \end{cases}$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе. Это можно сделать, если $b_1q(1+q) \neq 0$, что выполняется, так как иначе правые части уравнений были бы равны нулю.
$\frac{b_1q^2(1 + q)}{b_1q(1 + q)} = \frac{36}{18}$

После сокращения дроби в левой части уравнения, получаем значение знаменателя прогрессии $q$:
$q = 2$

Зная $q$, мы можем найти первый член прогрессии $b_1$. Подставим значение $q=2$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $b_1q(1 + q) = 18$.
$b_1 \cdot 2 \cdot (1 + 2) = 18$
$b_1 \cdot 2 \cdot 3 = 18$
$6b_1 = 18$
$b_1 = \frac{18}{6} = 3$

Цель задачи — найти пятый член прогрессии ($b_5$). Воспользуемся формулой n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
Подставим найденные значения $b_1 = 3$ и $q = 2$:
$b_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$

Ответ: 48

5. Поезд был задержан на 6 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 36 км, увеличив скорость на 4 км/ч. Определите первоначальную скорость поезда.

Пусть первоначальная скорость поезда равна $v$ км/ч. После увеличения скорости она стала $v + 4$ км/ч. Поезд должен был ликвидировать опоздание на перегоне длиной $S = 36$ км. Время задержки составляет 6 минут.

Для решения задачи необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Переведем время задержки из минут в часы:

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$

Время, которое поезд должен был потратить на перегон по расписанию (с первоначальной скоростью), равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{36}{v}$ ч.

Время, которое поезд фактически затратил на этот перегон с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{S}{v+4} = \frac{36}{v+4}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем равна времени наверстанного опоздания. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{10}$

$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+4} = \frac{1}{10}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{36(v+4) - 36v}{v(v+4)} = \frac{1}{10}$

$\frac{36v + 144 - 36v}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$

$\frac{144}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$v^2 + 4v = 144 \cdot 10$

$v^2 + 4v - 1440 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 16 + 5760 = 5776$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{5776}}{2} = \frac{-4 \pm 76}{2}$

$v_1 = \frac{-4 + 76}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$v_2 = \frac{-4 - 76}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -40$ не подходит по условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда составляла 36 км/ч.

Ответ: 36 км/ч.

6. Вычислите:

$\frac{3}{7} + 1 + \frac{9}{49} + \frac{1}{3} + \frac{27}{343} + \frac{1}{9} + \ldots$

Данный бесконечный ряд можно представить как сумму двух сходящихся геометрических прогрессий. Для этого необходимо перегруппировать его члены.

Запишем исходный ряд в виде суммы двух рядов:

$S = (\frac{3}{7} + \frac{9}{49} + \frac{27}{343} + \dots) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots)$

Обозначим сумму первой прогрессии в скобках как $S_1$, а второй — как $S_2$. Искомая сумма $S$ будет равна $S_1 + S_2$.

Вычисление суммы первой прогрессии $S_1$

Первый ряд $S_1 = \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + \frac{27}{343} + \dots$ является геометрической прогрессией.
Ее первый член $b_1 = \frac{3}{7}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q_1$, разделив второй член на первый: $q_1 = \frac{9/49}{3/7} = \frac{9}{49} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3}{7}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q_1| = \frac{3}{7} < 1$, данный ряд сходится, и его сумма вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.
$S_1 = \frac{\frac{3}{7}}{1 - \frac{3}{7}} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4}$.

Вычисление суммы второй прогрессии $S_2$

Второй ряд $S_2 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$ также является геометрической прогрессией.
Ее первый член $c_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q_2 = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q_2| = \frac{1}{3} < 1$, этот ряд также сходится.
$S_2 = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$.

Вычисление итоговой суммы $S$

Теперь найдем общую сумму, сложив суммы двух прогрессий:
$S = S_1 + S_2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 4:
$S = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{3+6}{4} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

7. Вычислите: $tg\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$, если $ctg\alpha=\sqrt{3}$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$tg(x + y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x) \cdot tg(y)}$
В нашем выражении $tg(\frac{\pi}{6} + \alpha)$, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.
Применим формулу:
$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{6}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{6}) \cdot tg(\alpha)}$
Нам необходимо найти два значения: $tg(\frac{\pi}{6})$ и $tg(\alpha)$.
1. $tg(\frac{\pi}{6})$ является стандартным табличным значением:
$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
2. Значение $tg(\alpha)$ найдем из данного условия $ctg(\alpha) = \sqrt{3}$. Так как тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями ($tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$), получаем:
$tg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Теперь подставим найденные значения обратно в формулу тангенса суммы:
$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}$
Выполним арифметические действия. Сначала упростим числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
Знаменатель: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2}$
Сокращаем двойки и тройки:
$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sqrt{3}$
Ответ: $\sqrt{3}$

8. Данияр устраивается на работу. Фирма обещает ему выплатить 1000 у.е. за первый месяц и каждый месяц увеличивать его заработную плату на 50 у.е. Какую сумму (у.е.) заработает Данияр за первый год?

Заработная плата Данияра за каждый месяц представляет собой последовательность чисел, которые образуют арифметическую прогрессию. Нам нужно найти сумму первых 12 членов этой прогрессии, чтобы определить общий заработок за год.

Определим параметры этой арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии ($a_1$) — это зарплата за первый месяц.
$a_1 = 1000$ у.е.

Разность прогрессии ($d$) — это сумма, на которую зарплата увеличивается каждый месяц.
$d = 50$ у.е.

Количество членов прогрессии ($n$) — это количество месяцев в году.
$n = 12$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в эту формулу для нахождения общей суммы за 12 месяцев ($S_{12}$):
$S_{12} = \frac{2 \cdot 1000 + 50 \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Теперь выполним вычисления по шагам:
$S_{12} = \frac{2000 + 50 \cdot 11}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{2000 + 550}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{2550}{2} \cdot 12$
$S_{12} = 1275 \cdot 12$
$S_{12} = 15300$

Следовательно, общая сумма, которую Данияр заработает за первый год, составляет 15300 у.е.

Ответ: 15300 у.е.