Номер 7, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. Упростите выражение $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta}$, если $\text{sin}(\alpha + \beta)=9\text{sin}(\alpha - \beta)$.

Для решения задачи необходимо упростить выражение $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta}$, используя данное условие $\sin(\alpha + \beta) = 9\sin(\alpha - \beta)$.

Шаг 1: Преобразуем данное тригонометрическое равенство. Для этого воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 9(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 9\sin\alpha\cos\beta - 9\cos\alpha\sin\beta$

Перенесем слагаемые с $\cos\alpha\sin\beta$ в левую часть, а с $\sin\alpha\cos\beta$ — в правую:

$\cos\alpha\sin\beta + 9\cos\alpha\sin\beta = 9\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta$

$10\cos\alpha\sin\beta = 8\sin\alpha\cos\beta$

Шаг 2: Преобразуем выражение, которое нужно упростить. Используем определение котангенса $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\beta}{\sin\beta}}$

Упростим эту четырехэтажную дробь:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta}$

Шаг 3: Найдем значение полученного выражения. Из равенства, полученного на шаге 1, $10\cos\alpha\sin\beta = 8\sin\alpha\cos\beta$, выразим искомое отношение. Для этого разделим обе части равенства на $10\sin\alpha\cos\beta$. (Это возможно, так как из условия существования $\text{ctg}\alpha$ и $\text{ctg}\beta$ следует, что $\sin\alpha \neq 0$, $\sin\beta \neq 0$. Также $\cos\beta \neq 0$, иначе знаменатель исходного выражения был бы равен нулю).

$\frac{10\cos\alpha\sin\beta}{10\sin\alpha\cos\beta} = \frac{8\sin\alpha\cos\beta}{10\sin\alpha\cos\beta}$

$\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = \frac{8}{10}$

Сократим дробь:

$\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = \frac{4}{5}$

Следовательно, $\frac{\text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\beta} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$