Номер 3, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Найдите $a_1$, $d$ в арифметической прогрессии $\begin{cases} S_2 - S_4 + a_2 = 14, \\ S_3 + a_3 = 17. \end{cases}$

Для решения задачи нам понадобятся формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Исходная система уравнений выглядит следующим образом:

$\begin{cases} S_2 - S_4 + a_2 = 14 \\ S_3 + a_3 = 17 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение системы. Для этого выразим все его члены через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$S_2 = \frac{2a_1 + (2-1)d}{2} \cdot 2 = 2a_1 + d$

$S_4 = \frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = 2(2a_1 + 3d) = 4a_1 + 6d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(2a_1 + d) - (4a_1 + 6d) + (a_1 + d) = 14$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a_1 + d - 4a_1 - 6d + a_1 + d = 14$

$(2a_1 - 4a_1 + a_1) + (d - 6d + d) = 14$

$-a_1 - 4d = 14$

Теперь преобразуем второе уравнение системы, также выразив его члены через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 3(a_1 + d) = 3a_1 + 3d$

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

$(3a_1 + 3d) + (a_1 + 2d) = 17$

Упростим:

$4a_1 + 5d = 17$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} -a_1 - 4d = 14 \\ 4a_1 + 5d = 17 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$:

$-a_1 = 14 + 4d \implies a_1 = -14 - 4d$

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение:

$4(-14 - 4d) + 5d = 17$

$-56 - 16d + 5d = 17$

$-11d = 17 + 56$

$-11d = 73$

$d = -\frac{73}{11}$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:

$a_1 = -14 - 4d = -14 - 4(-\frac{73}{11}) = -14 + \frac{292}{11}$

$a_1 = \frac{-14 \cdot 11}{11} + \frac{292}{11} = \frac{-154 + 292}{11} = \frac{138}{11}$

Таким образом, мы нашли искомые значения $a_1$ и $d$.

Ответ: $a_1 = \frac{138}{11}, d = -\frac{73}{11}$.