Номер 5, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Постройте график функции $y=2x^3-5$.

Построение графика функции $y = 2x^3 - 5$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=x^3$. Процесс состоит из нескольких шагов:

1. Построение графика базовой функции $y = x^3$. Это стандартная кубическая парабола, которая проходит через начало координат (0,0) и является симметричной относительно него. Ключевые точки: (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

2. Растяжение графика вдоль оси OY. Функция $y = 2x^3$ получается из $y = x^3$ путем растяжения вдоль оси ординат (OY) в 2 раза. Это означает, что для каждой точки графика $y=x^3$ ее ордината (координата y) умножается на 2, а абсцисса (координата x) остается прежней. Точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1) перейдут в точки (-1, -2), (0, 0), (1, 2).

3. Сдвиг графика вдоль оси OY. Функция $y = 2x^3 - 5$ получается из графика $y = 2x^3$ путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси OY. Это означает, что из ординаты каждой точки графика $y=2x^3$ нужно вычесть 5.

Для точного построения итогового графика составим таблицу значений для функции $y = 2x^3 - 5$:

При $x = -2$: $y = 2 \cdot (-2)^3 - 5 = 2 \cdot (-8) - 5 = -16 - 5 = -21$. Получаем точку (-2, -21).
При $x = -1$: $y = 2 \cdot (-1)^3 - 5 = 2 \cdot (-1) - 5 = -2 - 5 = -7$. Получаем точку (-1, -7).
При $x = 0$: $y = 2 \cdot 0^3 - 5 = 0 - 5 = -5$. Получаем точку (0, -5). Это точка пересечения с осью OY и точка перегиба графика.
При $x = 1$: $y = 2 \cdot 1^3 - 5 = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$. Получаем точку (1, -3).
При $x = 2$: $y = 2 \cdot 2^3 - 5 = 2 \cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11$. Получаем точку (2, 11).

Также полезно найти точку пересечения с осью OX (когда $y=0$):
$2x^3 - 5 = 0 \implies 2x^3 = 5 \implies x^3 = 2.5 \implies x = \sqrt[3]{2.5} \approx 1.36$.
Точка пересечения с осью OX примерно (1.36, 0).

Построение:
На координатной плоскости отмечаем вычисленные точки: (-2, -21), (-1, -7), (0, -5), (1, -3), (2, 11). Затем плавно соединяем их линией, сохраняя S-образную форму кубической параболы. График проходит через I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График функции $y=2x^3 - 5$ — это кубическая парабола, полученная из графика $y=x^3$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси OY и последующего сдвига на 5 единиц вниз. Ключевые точки для построения: (-1, -7), (0, -5), (1, -3). Точка перегиба — (0, -5).