Номер 1, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Выполните действия $(\frac{b}{a^2-ab} - \frac{1}{a-b}) : (\frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{b}{ab-b^2})$

Для решения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упрощение выражения в первых скобках

Выполним вычитание дробей в первых скобках: $ \frac{b}{a^2-ab} - \frac{1}{a-b} $.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $ a^2-ab = a(a-b) $.

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{b}{a(a-b)} - \frac{1}{a-b} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-b) $, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ a $:

$ \frac{b}{a(a-b)} - \frac{1 \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \frac{b - a}{a(a-b)} $.

В числителе вынесем знак минус за скобки: $ b-a = -(a-b) $. Получим:

$ \frac{-(a-b)}{a(a-b)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a-b) $:

$ \frac{-\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-b)}} = -\frac{1}{a} $.

2. Упрощение выражения во вторых скобках

Выполним вычитание дробей во вторых скобках: $ \frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{b}{ab-b^2} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ a^2-ab = a(a-b) $

$ ab-b^2 = b(a-b) $

Выражение примет вид: $ \frac{a+b}{a(a-b)} - \frac{b}{b(a-b)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a-b) $. Для этого домножим первую дробь на $ b $, а вторую на $ a $:

$ \frac{(a+b) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{b \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{b(a+b) - ab}{ab(a-b)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab + b^2 - ab}{ab(a-b)} = \frac{b^2}{ab(a-b)} $.

Сократим полученную дробь на $ b $:

$ \frac{b^{\cancel{2}}}{a\cancel{b}(a-b)} = \frac{b}{a(a-b)} $.

3. Деление результатов

Теперь разделим результат первого действия на результат второго действия:

$ (-\frac{1}{a}) : (\frac{b}{a(a-b)}) $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ -\frac{1}{a} \cdot \frac{a(a-b)}{b} $.

Сократим выражение на $ a $:

$ -\frac{1}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}(a-b)}{b} = -\frac{a-b}{b} $.

Можно внести знак минус в числитель, поменяв знаки слагаемых:

$ \frac{-(a-b)}{b} = \frac{b-a}{b} $.

Ответ: $ \frac{b-a}{b} $.