Номер 6, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Решите дробно-рациональное неравенство методом интервалов:
$ \frac{x^2 - 7x + 12}{2x^2 + 4x + 5} > 0 $.

Для решения дробно-рационального неравенства $\frac{x^2-7x+12}{2x^2+4x+5}>0$ методом интервалов, необходимо найти нули числителя и знаменателя, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции.

1. Анализ числителя

Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = 4$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $x=3$ и $x=4$.

2. Анализ знаменателя

Проверим, имеет ли знаменатель $2x^2 + 4x + 5$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 + 4x + 5 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у знаменателя нет действительных корней. Это означает, что знаменатель не обращается в ноль и сохраняет свой знак при любом значении $x$.

Чтобы определить этот знак, посмотрим на коэффициент при $x^2$. Он равен 2, что является положительным числом. Следовательно, парабола $y = 2x^2 + 4x + 5$ направлена ветвями вверх и целиком лежит выше оси абсцисс. Таким образом, знаменатель $2x^2 + 4x + 5$ всегда положителен.

3. Упрощение неравенства и решение

Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Исходное неравенство $\frac{x^2-7x+12}{2x^2+4x+5}>0$ равносильно неравенству:

$x^2 - 7x + 12 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя найденные ранее корни:

$(x - 3)(x - 4) > 0$

Теперь применим метод интервалов. Нанесем на числовую прямую нули числителя $x=3$ и $x=4$. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми (не включенными в решение).

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 3)(x - 4)$ на каждом интервале:

- В интервале $(-\infty; 3)$ (например, при $x=0$): $(0-3)(0-4) = 12 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(3; 4)$ (например, при $x=3.5$): $(3.5-3)(3.5-4) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».

- В интервале $(4; +\infty)$ (например, при $x=5$): $(5-3)(5-4) = (2)(1) = 2 > 0$. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(-\infty; 3)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$